Bestimmen Sie die Richtungsableitung. Bestimmen Sie die Richtung des steilsten Anstiegs.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) . \end{array}\right. $$
a) Ist \( f \) auf \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) total differenzierbar? (Mit Begründung!)
b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung \( \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(0,0) \) in Richtung \( \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right) \neq(0,0) \).
c) Bestimmen Sie die Richtung des steilsten Anstiegs von \( f \) im Punkt \( (0,0) \).
d) Vergleichen Sie \( \nabla f(0,0) \vec{v} \) und \( \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(0,0) \) und entscheiden Sie, ob \( f \) in \( (0,0) \) total differenzierbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich finde keinerlei Gute Aufgaben Beispiele oder Lehrvideos die mir näher bringen wie man solche Aufgaben löst. Dementsprechend hoffe ich ihr hättet eine ausführliche Lösung dieser Aufgabe so das ich eure Ansätze eventuell als Anhaltspunkt nutzen kann.

Answer 1

Hallo,

a) Wenn man den Nullpunkt exkludiert, ist \(f\) (total) differenzierbar. Es handelt sich nämlich um einen Quotienten unendlich oft stetig differenzierbarer Funktionen.

b)$$\begin{aligned}\partial_vf(0,0)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((0,0)+h(v_1,v_2))-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{h^3(v_1^3-v_2^3)}{h^2(v_1^2+v_2^2)}}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\frac{v_1^3-v_2^3}{v_1^2+v_2^2} =\frac{v_1^3-v_2^3}{v_1^2+v_2^2}\end{aligned}$$c) Es gilt \(\nabla f(0,0)=(1,-1)^T\).

d) Es müsste für \(v=(a,b)\) dann \(\partial_vf(0,0)=\nabla f(0,0) \cdot v=a-b\) für ALLE Richtungen gelten, falls \(f\) total differenzierbar in \((0,0)\) ist. Dem ist aber nicht so, wähle z. B. \(v=\left(1,-1 \right)\), dann hast du \(\partial_vf(0,0)=1\neq 1-(-1)=2\). Es exisitieren also alle Richtungsableitungen \(v\neq (0,0)\) in (0,0), aber \(f\) ist in \((0,0)\) nicht total differenzierbar.

Comments

Ich habe eien Frage zu c):und d): Der Gradiente besteht doch aus den partiellen Ableitungen nach der 1. bzw. 2. Variable. Also der Richtungsableitung für v=(1,0) bzw. v=(0,1). Demnach wäre der Gradient doch (1,1) - oder?

Gruß Mathhilf

---

Druckfehler: Gradiente müsste (1,-1) sein.

---

Ja, das ist falsch. Danke fürs genaue Hinsehen. Da war ich zu voreilig. Glücklicherweise ändert sich die Argumention dadurch grundsätzlich nicht. Es lässt sich schnell eine andere Richtung finden, man muss nur ausnutzen, dass \((-1)^3=-1\) bleibt, wobei \(-(-1)=1\) wird. Man kann den Richtungsvektor auch normieren, wenn das definitorisch gefordert ist.

---

Ich habe da eine Frage und zwar wie genau ich hier bei der c) vorgehen muss ich hab rumgeschaut im internet und gesehen man soll den Gradienten der Funktion nehmen und um den Punkt des steilsten Anstiegs zu bestimmen einfach den Punkt einsetzen für den man den steilsten Anstieg überprüfen will, nur sehe ich nicht wie ich damit auf dein Ergebnis kommen soll.

Mit freundlichen Grüßen!

---

Hallo,

der Gradient besteht aus der partiellen Ableitung nach \(x\) und der partiellen Ableitung nach \(y\). Dies ist aber nichts anderes als die Richtungsableitung in Richtung der \(x\)-Achse zum einen und der Richtung zur \(y\)-Achse zum anderen. D. h.:$$\nabla f(0,0)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \end{pmatrix}$$ wobei \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) die Richtungsableitung in \((0,0)\) nach \((1,0)\) ist und \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) nach \((0,1)\) ist.

In der b) wurde die Richtungsableitung für alle Richtungen bestimmt. Du kannst dort also einfach einsetzen.