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Experiment \(X\): \(\;\;\;10\) Fragen, jeweils \(5\) Antwortmöglichkeiten, jeweils genau \(1\) Antwort richtig.
a ) Mit wie vielen richtigen Antworten kann Carl rechnen ?
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frage richtig beantwortet wird ist: \(\quad p=\frac{1}{5}\)
Die Anzahl der Fragen ist: \(\quad n=10\)
Der Erwartungswert beträgt daher:\(\quad E(X)=n\cdot p=10\cdot\frac15=\pink{2}\)
b ) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht Carl höchstens 30 % richtige Antworten ?
30% von \(10\) möglichen richtigen Antworten sind \(3\) Antworten:$$P(X\le3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$$
Mit Hilfe der Binomialverteilng lösen wir die Wahrscheinlichkeiten auf:$$P(X\le3)=\underbrace{\binom{10}{0}\left(\frac15\right)^0\left(\frac45\right)^{10}}_{\text{genau \(0\) Antworten richtig}}+\underbrace{\binom{10}{1}\left(\frac15\right)^1\left(\frac45\right)^{9}}_{\text{genau \(1\) Antwort richtig}}\;+$$$$\phantom{P(X\le3)}+\underbrace{\binom{10}{2}\left(\frac15\right)^2\left(\frac45\right)^{8}}_{\text{genau \(2\) Antworten richtig}}+\underbrace{\binom{10}{3}\left(\frac15\right)^3\left(\frac45\right)^{7}}_{\text{genau \(3\) Antworten richtig}}$$$$\phantom{P(X\le3)}=\frac{4^{10}}{5^{10}}+\frac{10}{1}\cdot\frac{4^{9}}{5^{10}}+\frac{10}{2}\cdot\frac{9}{1}\cdot\frac{4^{8}}{5^{10}}+\frac{10}{3}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{8}{1}\cdot\frac{4^{7}}{5^{10}}$$$$\phantom{P(X\le3)}=\frac{4^{10}+10\cdot4^9+45\cdot4^8+120\cdot4^7}{5^{10}}\approx\pink{0,8791}$$
