Grundsätzlichen würde ich das charakteristische Polynom bzw det(x-1A) laplace berechnen, wie sieht das hier bei …

Question

Aufgabe:

Betrachte die Matrizen \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & i & 0 \\ i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 i\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

ich würde gerne die Eigenwerte dieser komplexen Matrix berechnen, ich bin mir allerdings unsicher wie. Grundsätzlich würde ich das charakteristische Polynom bzw. det(x-1A) mit laplace berechnen, wie sieht das hier bei dieser komplexen Matrix aus ?

Könnte mir das jemand schrittweise vorrechnen ?

Gruß,

Seonix

Answer 1

det(xE-A)=0 ist OK.

Es ist   det(xE-A)= (x-2i)(x^2 - 2x + 2)

Also gleich 0 für x=2i und x=1+i und x=1-i.

Answer 2

Hallo,

det (A-λE) = \( \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & i & 0 \\ i & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 i-\lambda\end{array}\right| \) =0

 \( =0\left|\begin{array}{cc}i & 0 \\ 1-\lambda & 0\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 0 \\ i & 0\end{array}\right|+(-\lambda+2 i)\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & i \\ i & 1-\lambda\end{array}\right| \)

 \( =(-\lambda+2 i)\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right) \) =0

\( \lambda_{1}=2 i \)

\( \lambda_{2}=1+i \)

\( \lambda_{3}=1-i \)

Comments

Hallo,

wenn ich dann die Nullstellen der quadratischen Gleichung mit der pq-Formel ermittle, ist dann root(-1)= +i bzw. -i?

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wenn ich dann die Nullstellen der quadratischen Gleichung mit der pq-Formel ermittle, ist dann root(-1)= +i bzw. -i?

->Ja

λ^2 -2λ+2=0

λ_1,2=1 ±√(1-2)

λ_1,2=1 ±√-1

λ₁ =1+i

λ₂=1-i