Warum kann ich die Rechnung bei der ersten Aufgabe so aufschreiben und bei der zweiten nicht?

Question

Aufgabe:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 31

= -1+2^5 = 31

1 + 5 + 5^2 + 5^3 ... + 5^10 =122....

= -1+5^11 nicht gleich 122..

Problem/Ansatz:

Warum kann ich die Rechnung bei der ersten Aufgabe so aufschreiben und bei der zweiten nicht?

Answer 1

1 + 5 + 5^2 + ... + 5^9 + 5^10

= (5 - 1) * (1 + 5 + 5^2 + ... + 5^9 + 5^10) / (5 - 1)

= (5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^10 + 5^11 - 1 - 5 - 5^2 - ... - 5^9 - 5^10) / (5 - 1)

= (5^11 - 1) / (5 - 1)

Du müsstest 5^11 - 1 eben noch durch 4 Teilen.

Bei der 2 trat das Problem nicht auf, weil im Nenner dann 2 - 1 also 1 steht und die kann man ja auch weglassen.

Answer 2

1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴

In Binärdarstellung ist das

        11111.

Zählst du 1 hinzu, dann bekommst du

        100000.

1 + 5 + 5² + 5³ ... + 5¹⁰

In der Darstellung zur Basis 5 ist das

        11111111111.

Zählst du 1 hinzu, dann bekommst du

        11111111112.