Warum kann man bei der ersten Aufgabe 1-2^5 als Bruch aufschreiben und bei der zweiten und dritten nicht?

Question

Text erkannt:

\( 1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}=31 \)
\( =(1-2) \cdot\left(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right) \)
\( =1\left(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right)-2 \cdot\left(1+2+2^{2}+2^{2}\right. \)
\( =\left(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right)-\left(2+4+2^{3}+2^{4}+2\right. \)
\( =15-2^{5}=1-2^{5},-\frac{1-2^{5}}{1-2}=-\frac{1-2^{5}}{(-1)} \)
\( 1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{9}+5^{10}=\frac{1-5^{11}}{1-5} \)
\( 2+6+6^{2} \cdots 6^{5}=\frac{1-6^{6}}{1-6} \)

Warum kann man bei der ersten Aufgabe 1-2^5 als Bruch aufschreiben und bei der zweiten und dritten nicht? Also bei 1-6^6/1-6 kommt etwas anderes raus als 1-6^6

Answer 1

Nimm die 2 mal heraus aus der Summe. Und multipliziere mit 6 - 1, damit im Zähler und Nenner eine positive Zahl steht.

2 + 6 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5 = 9332

= 2 + (6 - 1) * (6 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5) / (6 - 1)

= 2 + (6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5 + 6^6 - 6 - 6^2 - 6^3 - 6^4 - 6^5) / (6 - 1)

= 2 + (6^6 - 6) / (6 - 1) = 2 + 46650 / 5 = 9332

Du kannst es auch etwas anders machen

1 + 1 + 6 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5 = 9332

= 1 + (6 - 1) * (1 + 6 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5) / (6 - 1)

= 1 + (6 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5 + 6^6 - 1 - 6 - 6^2 - 6^3 - 6^4 - 6^5) / (6 - 1)

= 1 + (6^6 - 1) / (6 - 1) = 1 + 46655 / 5 = 9332

Comments

Grundsätzlich gilt:

∑ (k = 0 bis n) (q^k) = 1 + q + q^2 + ... + q^n = (q^{n + 1} - 1) / (q - 1)

Answer 2

Hallo,

das liegt am Nenner.

Bei 1-2^5 steht ein Minuszeichen vor dem Bruch und -1 im Nenner.

-(-1)=1

Der Faktor 1 ändert nichts.

Bei 1-6^6 steht 1-6, also -5 im Nenner. Und wenn du durch -5 dividierst, kommt nicht der Zähler heraus.

PS:

Bei deinen Aufzeichnungen haben sich einige Fehler eingeschlichen. In der untersten Zeile muss die 2 wohl eine 1 sein. Und 1^5-2^5 = -31, obwohl 31 richtig wäre.