Vervollständigen Sie die Wertetabelle

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 2.12 \)
(a) Die Basis bei diesen rechtwinkligen Dreiecken misst jeweils 4. Studieren Sie die Entwicklung der schraffierten Fläche.
(b) Vervollständigen Sie die Wertetabelle.
\( a_{n}= \) Anzahl aller eingezeichneten Quadrate
\( A_{n}= \) schraffierte Fläche, d.h. Fläche aller Quadrate
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline\( n \) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline\( a_{n} \) & 2 & 6 & 14 & 30 & 62 & 126 \\
\hline\( A_{n} \) & \( \frac{4}{2} \) & \( \frac{6}{2} \) & \( \frac{7}{2} \) & & & \\
\hline
\end{tabular}
(c) Geben Sie jeweils einen Term an, mit dem \( a_{n} \) und \( A_{n} \) bei der \( n \)-ten Figur berechnet werden kann.
(d) Welchem Wert nähert sich \( A_{n} \), wenn \( n \rightarrow \infty \) ?
Lösung auf S. 63

Problem/Ansatz:

Schönen Abend euch allen, erneut muss ich ne Frage stellen... Weiss jemand wie ich hier den Quotienten rauskriege ohne TR? Kriege das iwie einfach nicht hin :/ (Lösungen sind vorhanden)

Comments

Weiss jemand wie ich hier den Quotienten rauskriege ohne TR?

In der Aufgabe wird nirgendwo nach einem Quotienten gefragt. Daher ist deine Frage unverständlich. Formuliere dein Anliegen genauer.

Answer 1

A1 = 2
A2 = A1 + 4 * 1/4 = 3
A3 = A2 + 8 * 1/16 = 7/2 = 3.5
A4 = A3 + 16 * 1/64 = 15/4 = 3.75

Kannst du das Muster erkennen?

An = 4 - 4·0.5^n

Comments

Das macht Sinn, jedoch verstehe ich nicht ganz, wie ich am Besten auf solche Muster komme - sprich, ich habe kein systematisches Vorgehen

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Wie kommst du zum Beispiel auf die allgemeine Formel An = 4 - 4·0.5n ?

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Wie kommst du zum Beispiel auf die allgemeine Formel

Man erkennt den Grenzwert 4 doch recht schnell. Und du erkennst das der Abstand zur 4 exponentiell abnimmt

A1 = 2 = 4 - 2
A2 = 3 = 4 - 1
A3 = 3.5 = 4 - 0.5
A4 = 3.75 = 4 - 0.25

An = 4 - 4 / 2^n oder eben 4 - 4*0.5^n

Kannst du das sehen oder eher nicht? Du hattest sicher schon Exponentialfunktionen oder?

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Ja hab es jetzt verstanden, vielen Dank :)

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Wie kommt man auf die Formel von a_n?

2 * 2 +2 = 6
6 * 2 + 2 = 14
14 *2 +2 =30
30 * 2 +2 = 62
62 * 2 +2 = 126

Ein Muster hab ich schon mal erkannt.

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Addiere mal zu jeder Zahl 2 und schreibe die Reihe darunter

6 14 30 62 126

8 16 32 64 128

Oh, das kommt uns bekannt vor. Also ist die Reihe einfach

an = 4·2^n - 2

Ein guter Tipp ist immer mit einer Differenzenfolge zu beginnen. Daraus kann man meist erkennen, um welche Art von Folge es sich handelt.

Bilde also immer die Differenz aus 2 Zahlen und schreibe die Differenzen darunter

6 14 30 62 126

8 16 32 64

Hier siehst du jetzt deutlich ein exponentielles Wachstum in der Differenzenfolge. Also kann man einen exponentiellen Zusammenhang der Originalfolge vermuten.