Verknüpfungstabelle vervollständigen!

Question

Aufgabe:

Es sei G: = {a,b,c,d} und o : G x G -> G eine Verknüpfung mit der folgenden Verknüpfungstabelle

α o β		β =
α =		a	b	c	d
	a	c	a	x1	b
	b	a	b	c	d
	c	d	c	b	x2
	d	b	d	x3	c

Vervollständige die Verknüpfungstabelle, in dem du die Variablen x₁,x₂,x₃ begründet mit Werten aus G belegst. Denke daran, dass G eine abelsche Gruppe ist!

Problem/Ansatz:

Also x₁ zu bestimmen ist ja leichter als einem Baby den Lutscher zu klauen (nicht, dass ich so etwas vor hätte).

Wegen Kommutativität gilt c o a = d

und dann ist a o c wiederum auch = d, also ist x₁ = d.

Bei x₂ und x₃ sieht die Welt leider nicht mehr so einfach aus, denn d o c = x3 und d o c ist auch = x₃. x₂ ist also das Inverse zu x₃. Was tun?

Answer 1

Hallo Marceline,

in einer Verknüpfungstabelle  einer Gruppe taucht jedes Verküpfungsergebnis in jeder Zeile und Spalte genau einmal auf:

→  x₁ = d   ,   x₂  =  a   und x₃  =  a

Gruß Wolfgang

Comments

Und ich rechne mir hier zwei Stunden 'nen Wolf und dabei ist's so einfach! Danke dir!

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 Und nur um mich abzusichern. Wenn jetzt die Aufgabe wäre, zu jedem Element die inverse zu finden, dann wäre wegen

a o d = b

b o b = b

c o c = b

d o a = b

 das Inverse zu a

Und b ist auch das Inverse zu a, oder?

Weil

a o b = a

und

b o a = a.

=> B ist das Inverse zu A. Und umgekehrt ist A das Inverse zu B.

Und b ist das Inverse zu c

c o b = c

b o c = c

=> B ist invers zu C und damit umgekehrt auch C invers zu B, richtig?

Und d ist auch invers zu B und umgekrht, da

d o b = d

und

b o d = d

gilt.

Also gibt es zu einigen Elementen mehrere inverse Elemente, oder? Weil a hat jetzt wegen a o d = b und d o a = b und a o b = a und b o a = a mehrere Inverse Elemente. Und in der Aufgabenstellung steht ja "Nenne das inverse Element", also Singular. Oder kann b nicht invers zu a sein, weil es ja schon das neutrale Element ist?

Reicht es zu sagen,

D das Invese zu A
B das Inverse zu B, also sich selbst (
C das Inverse zu C
A das Inverse zu D.

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Das neutrale Element ist doch b oder? Warum ist es das?

Inverse erkennt man daran das das Ergebnis einer Verknüpfung b ist.

a o d = b
b o b = b
c o c = b
d o a = b

Damit ist a invers zu d und umgekehrt.

Und damit sind b und c invers zu sich selbst.

Andere inverse gibt es nicht.

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Das neutrale Element ist b, weil jedes Element mit b verknüpft, (und das hört sich jetzt für Mathematiker-Ohren wahrscheinlich furchtbar albern und kindisch an) "das Element selbst" ergibt. Sprich, a o b = a,  b o b = b, c o b = c und d o b = d.

Und das Inverse Element ist dann immer das Element, mit dem man ein anderes Elemnt verknüpfen muss, um das neutrale Element herauszubekommen.

Cool. Danke für die Hilfe!

Answer 2

Könnte man das nicht so machen ?

(c * d) * a = c * (d * a) = c * b = c

a * a = c --> c * d = a