Verknüpfungstabelle mit abelscher Gruppe

Question

Aufgabe:

Sei P = {0,1,2, x , x+ 1, x+ 2, 2·x , 2·x+ 1 , 2·x+ 2} eine Menge mit 9 Elementen. Zeigen Sie,dass die diese Mengen zusammen mit der Addition ⊕₃   aus ℤ₃ ein abelsche Gruppe bildet, indem Sie die folgende Multiplikationstabelle ausfüllen.

Problem/Ansatz:

Ich habe hierzu meine Verknüpfungstabelle erstellt, aber ich habe leider Schwierigkeiten bei den Variablen x. Da steht ja, man muss die Addition modulo 3 anwenden aber, wenn ich z.B. x+x+1 machen würde, käme da x+x+1 raus? Und es ist kein Element in unserem P.  "Das war eines der Beispiele. Dabei komme ich komplett wegen der Variablen x durcheinander"..

Kann mir da jemand bitte helfen :( Notfall :((

Rejes.

Answer 1

Rechne mit dem x einfach wie mit einer normalen Variablen:

x+x+1 = 2x +1

3x = 0 (da 3 = 0)

etc.

Du betrachtest hier übrigens $$\mathbb{Z}/_{3\mathbb{Z}}[X]_{/_{(X^2+1)}}$$
Also einen endlichen Körper mit 9 Elementen.

Comments

Ok danke, ich habe es hinbekommen :)

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Ich verstehe nur nicht was dann 2x+1 mod 3 sein soll?

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2x+1 ist die Menge aller Polynom über Z/3Z die bei Polynom Division mit X²+1 den Rest 2X+1 lassen