Zeigen Sie, dass ....eine Gruppe ist.

Question

Für x, y ∈ [0, 1) definieren wir

x ⊕ y := {x + y} =( x + y falls x + y < 1                           x + y − 1 falls x + y ≥ 1)Zeigen Sie, dass [0, 1) mit der Operation ⊕ eine Gruppe ist.

Wie gehe ich hier vor ? Ich kenne die Eigenschaften von Gruppen, bekomme sie aber an diesem Beispiel irgendwie nicht bewiesen und würde mich sehr über eine ausführliche Lösung freuen

Comments

Bei welcher Gruppeneigenschaft scheiterst du denn ?

---

Leider sowohl beim Neutralelement als auch beim inversen Element

---

⊕ ist kommutativ, da + kommutativ

Betrachte x in [0,1) und 0, dann ist x + 0 = x < 1

also ist x ⊕ 0 = x + 0 = x. Neutrales Element existiert somit

Betrachte x in (0,1), dann ist 1 - x in [0,1) und es ist x + (1-x) = 1 ≥ 1

also ist x ⊕ (1 - x) = x + (1-x) - 1 = 0. Jedes Element ≠ 0 hat somit ein Inverses.

0 ist aber zu sich selbstinvers, denn 0 ⊕ 0 = 0. Also hat jedes Element ein Inverses

---

Hey @jennita, ich habe dieselbe Aufgabe,

Kannst du mir sagen wie ich beim Assoziativgesetz vorgehen muss?

Answer 1

Die Überprüfung der Assoziativität spare ich mir hier mal;

denn das ist eine reine Fleißarbeit.

Als neutrales Element bietet sich \(0\) an.

Ist \(x\neq 0\), dann probiere mal \(1-x\) als Inverses aus.

Das Inverse von \(0\) ist natürlich \(0\).