Funktion auf ihre Eigenschaften prüfen

Question

Aufgabe:

Hallöchen,

folgende Aufgabe bereitet mir totale Schwierigkeiten und würde mich echt freuen wenn ihr mir da weiter helfen könntet:

Es soll überprüft werden ob die FKT injektiv, surjektiv oder bijektiv ist:

f: R²--->R² , (x,y) → ( x + 2y, 2x - y )

Problem/Ansatz:

… Vom Bauchgefühl würde ich bijektiv tippen aber rechnerisch stehe ich da im Wald

LG

Comments

Alternativ zeige, dass f ∘ f = 5id ist.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Abbildungsvorschrift in Matrixschreibweise formulierst:$$\binom{x}{y}\to\binom{x+2y}{2x-y}=x\binom{1}{2}+y\binom{2}{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & -1\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$erkennst du, dass die Determinante der Abbildungsmatrix \((-5)\) also \(\ne0\) ist. Daher ist die Matrix und damit auch die Abbildung invertierbar. Das heißt, die Abbildung ist bijektiv.

Comments

Kann es sein, dass hier noch ein \(f\) fehlt oder eines der \(=\) besser ein \(↦\) sein sollte?

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Danke dir, habs korrigiert.

Answer 2

… Vom Bauchgefühl würde ich bijektiv tippen

Dann stelle dir die Frage, ob es möglich oder unmöglich sein könnte, dass zwei verschiedene Paare (x,y) (also die Paare (x_1,y_1) und (x_2,y_2)) zum selben Ergebnis ( x + 2y, 2x - y ) führen können.

Comments

Es kommen verschiedene raus... kann man das dann einfach behaupten ohne es zu verallgemeinern?

LG

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Nein, man muss BEWEISEN, dass immer verschiedenes rauskommt.

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hm wenn das gleiche rauskommen würde, dann steht da doch

0=0

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Das ideale Ergebnis der Untersuchung wäre x_1=x_2 und y_1=y_2.

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hm Danke Aber wenn beide x und beide y gleich sind, bedeutet das ja, dass falls die Paare gleich sind, dann müssen beide x die gleiche Zahl und beide y die gleiche Zahl sein.

D.h. die Abbildung ist bijektiv

LG

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D.h. die Abbildung ist bijektiv

Nein, das heißt es nicht.

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Heisst es das es injektiv ist?

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Heisst es das es injektiv ist?

Ja.

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Surjektivität habe ich folgender Maßen versucht zu beweisen:

Die x-Koordinate des Vektors und die y-Koordinate habe ich als Funktion dargestellt und entsprechend umgestellt:

x = x + 2y → x = y  ---> y = x d.h jedes y kriegt auch ein x zugeordnet

y =2x - y → y = x  ---> x = y d.h.jedes x kriegt auch ein y zugeordnet

Keinen Plan ob es überhaupt einen Sinn ergibt.

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Die Idee ist wohl richtig, aber du musst die Variablen sorgfältiger bezeichnen :

f((x,y)) = (u,v)  mit u = x+2y und v = 2x-y ergibt eindeitig x = (u+2v)/5 und v = (2u-v)/5 ,
womit man zwei Fliegen (surj. und inj.) mit einer Klappe erschlagen hat.

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stimmt es sind ja verschiedene x...Danke!!!

Answer 3

Eine Möglichkeit ist: Du schreibst die Abbildung in eine Matrixform, also die Matrix mal den Vektor (x y) ergibt die lineare Abbildung, und bestimme den Rang der Matrix. Wenn der Rang der Anzahl der Spalten der Matrix entspricht, ist die Abbildung injektiv, wenn der Rang gleich die Anzahl der Zeilen der Matrix ist, ist die Matrix surjektiv. Wenn beides zutrifft, dann ist die Matrix natürlich bijektiv.