Relationen und ihre Eigenschaften

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie folgende Relationen auf ihre Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und
Transitivität (Begründung bzw. Gegenbeispiel angeben):
a) R1 = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ | x + y = 6}
b) R2 = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ | 2 teilt x + y}
c) R3 = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ | 2 teilt x ∙ y}
d) R4 = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ | x und y haben die gleiche Stellenzahl im Dezimalsystem}
e) R5 = {(x, y) ∈ ℤ ∖ {0} × ℤ ∖ {0} | x ∙ y > 0}
f) R6 = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ | 2x < y}
g) R7 = {(x, y) ∈ A × A | x^2 ≡ y^2 (mod 5)}, wobei A = {1, 2, 3, … , 19, 20}

Stellen Sie die Relationen in f) und g) in einem Koordinatensystem dar.

Könnte mir da bitte jemand helfen? Ich verstehe nicht, wie man das macht. :(

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Und was hast du selbst bereits herausgefunden?

Answer 1

Reflexivität: Jedes Element steht in Relation mit sich selbst (xRx)
Symmetrie: Wenn xRy gilt, gilt auch yRx
Transitiviät: Wenn xRy und yRz gilt, gilt auch xRz

a) R1 = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ | x + y = 6}
Reflexivität: gilt nicht (nehme einfach mal x=1, dann erhältst du 1+1=6, was falsch ist)
Symmetrie: Es gilt x+y=6, y+x=6 gilt dann auch (Kommutivität)
Transitivität: x+y=6, y+z=6, stelle um: y=6-z und setze ein: x+6-z=6, also x-z=0. Widerspruch. Bsp: x=1, y=5, z=1

b) R2 = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ | 2 teilt x + y}
R: x+x=2x -> durch 2 teilbar
S: x+y ist durch 2 teilbar -> y+x=x+y -> also auch durch zwei Teilbar
T: x+y durch 2 teilbar, bedeutet, es gibt ein k ∈ ℤ mit x+y=2k. y+z durch 2 Teilbar, also es gibt ein l∈ ℤ mit y+z=2l, stelle nach y um und setze ein: x+2l-z = 2k
x-z=2(k-l)
x+(-z) = 2(k-l)
k -l ∈ ℤ, also gilt das auch

c) R3 = {(x, y) ∈ ℤ × ℤ | 2 teilt x ∙ y}
R: Setze x=1
S: x*y=y*x, also gilt
T: x*y=2k, y*z=2l
x*2l/z = 2k
x*1/z = 2(k/l) -> Widerspruch, da k/l keine ganze Zahl ist
Bsp: x=1=z, y=2

d) R4 = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ | x und y haben die gleiche Stellenzahl im Dezimalsystem}
R: gilt
S: Wenn x und y gleiche Stellenzahl, dann auch y und x
T: Gilt aus dem selben Grund

e) R5 = {(x, y) ∈ ℤ ∖ {0} × ℤ ∖ {0} | x ∙ y > 0}
R: x² ist stets positiv
S: x*y>0 gilt, x*y=y*x (Kommutivität), also auch größer als 0
T: x*y>0, y*z>0
x*y*y*z > 0 * 0 = 0
x*(y*y)*z >0
y²>0, also muss x*z auch größer Null sein

f) R6 = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ | 2x < y}
R: gilt nicht (x=1)
S: 2x<y gilt, aber nicht 2y<x (x=1, y=3)
T: 2x<y, 2y<z. z.z 2x<z
2x<0,5z, also 4x<z, damit muss auch gelten 2x<z

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Wow vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Das hilft mir wirklich sehr weiter!!:))