Eigenwerte von normalen adjungierten Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektor-Raum mit Skalarprodukt und Φ eine normale Selbstabbildung von V nach V. (normal: Φ Φ*= Φ* Φ)

Problem/Ansatz:

folgt daraus dass:

Sei v ein Eigenvektor von Φ d.h. Av = λv , dann ist v auch ein Eigenvektor von Φ* zum Eigenwerte λ komplex konjugiert?

(wobei A die Abbildungsmatrix von Φ und Φ* die zu Φ adjungierte Abb sein soll)

Answer 1

folgt daraus dass:

Sei v ein Eigenvektor von Φ d.h. Av = λv , dann ist v auch ein Eigenvektor von Φ* zum Eigenwerte λ komplex konjugiert?

Ja. Um das zu beweisen, zeige zunächst (falls noch nicht bekannt), dass aus der Normalität

von \(\Phi\) folgt:

\((\Phi^*(v),\Phi^*(w))=(\Phi(v),\Phi(w))\) für alle \(v,w\in V\quad (*)\),

wobei \((.,.)\) das (komplexe) Skalarprodukt ist.

Dann zeige, dass

\((\Phi(v)-cv,\Phi(v)-cv)=(\Phi^*(v)-\bar{c}v,\Phi^*(v)-\bar{c}v)\)

gilt, d.h. insbesondere \(\Phi(v)=cv\iff \Phi^*(v)=\bar{c}v\)