Aufgabe:
Aufgabe \( 2(4+2+2+2 \text { Punkte }) \) Sei \( (V,\langle\cdot, \cdot\rangle) \) ein endlichdimensionaler Skalarproduktraum und sei \( T \in \operatorname{End}(V) \)
(a) Sei \( \lambda \in \mathbb{C} \). Zeigen Sie, dass \( \lambda \) ein Eigenwert von \( T \) genau dann ist, wenn \( \bar{\lambda} \) ein Eigenwert von \( T^{*} \) ist.
(b) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) \( T^{*} \) ist genau dann surjektiv, wenn \( T \) injektiv ist.
(ii) \( T^{*} \) ist genau dann injektiv, wenn \( T \) surjektiv ist.
(c) Sei \( U \) ein Unterraum von \( V \). Zeigen Sie, dass \( U \) genau dann \( T \) -invariant ist, wenn \( U^{\perp} \) \( T^{*} \) -invariant ist.
(d) Angenommen, \( T \) ist normal und die Vektoren \( v, w \in V \) erfüllen die Gleichungen
$$ \|v\|=\|w\|=2, \quad T(v)=3 v, \quad T(w)=4 w $$
Zeigen Sie, dass \( \|T(v+w)\|=10 \)
Frage/Ansatz:
Ich wollte frage, wie man diese Aufgaben am besten angehen kann. Ich habe schon den Ansatz von a), wo ich die Eigenschaft benutzen kann von der Adjungierten im skalarprodukt.
Bei der d) hab ich versucht das auszurechnen und habe das nicht hinbekommen, sollte ich hier irgendetwas über die Eigenschaft wissen von Normalen abbildungen ?
Bei der c) habe ich keine ahnung wie man anfangen kann und die b) habe ich schon gelöst.
Danke nochmals vielmals für die Hilfe.
