ich habe mit dieser Frage ein bisschen Probkem. Ich weiß überhaupt nicht, wie man auf dem rot markierte Bereich kommt :/ (Ich habe auch die Lösung geschickt).
Ich weiß wie man erweiterte euklidische Algorithmus berechnet aber diese Beispiel verwirrt mich. Für eine Erklärung werde sehr dankbar.
Text erkannt:
Seien \( f=x^{4}+2 x^{2}+2 \) und \( g=x^{3}+2 x+1 \) Elemente in \( \mathbb{Z}_{3}[x] \) und sei \( I=f \mathbb{Z}_{3}[x] \) das von \( f \) erzeugte Ideal. Bestimmen Sie das multiplikative Inverse zu \( g+I \) in \( \mathbb{Z}_{3}[x] / I \).
Text erkannt:
Aufgabe 7. Nach Satz 6.20 b) können \( u, v \in \mathbb{Z}_{3}[x] \) mit \( g g T(f, g)=u \cdot f+v \cdot g \) mittels erweitertem Eukldischem Algorithmus bestimmt werden. Ist \( g g T(f, g)= \) 1 , so folgt
\( v \cdot g+I=1+I, \)
also ist dann \( v+I \) das multiplikativ Inverse zu \( g+I \) in \( \mathbb{Z}_{3} / I \). Wir verwenden den erweiterten Eukldischen Algorithmus:
\( \left.\begin{array}{rl} x^{4}+2 x^{2}+2 & =x \cdot\left(x^{3}+2 x+1\right)+(2 x+2) \\ x^{3}+2 x+1 & =\left(2 x^{2}+x\right) \cdot(2 x+2)+1 \end{array}\color{red}\right\} \)
Rückwärts einsetzen liefert:
\( \left.\begin{array}{rl} 1 & =g-\left(2 x^{2}+x\right) \cdot(2 x+2) \\ & =g-\left(2 x^{2}+x\right) \cdot(f-x \cdot g) \\ & =\left(2 x^{3}+x^{2}+1\right) \cdot g+\left(x^{2}+2 x\right) \cdot f \end{array}\color{red}\right\} \)
Also gilt \( \left(2 x^{3}+x^{2}+1\right) \cdot g+I=1+I \) in \( \mathbb{Z}_{3}[x] / I \). Damit ist \( 2 x^{3}+x^{2}+1+I \) das multiplikativ Inverse von \( g+I \) in \( \mathbb{Z}_{3} / I \).
Text erkannt:
6.20. Satz: Seien \( f, g \in K[x] \).
(a) Der \( g g T(f, g) \) kann mit dem Euklidischen Algorithmus berechnet werden.
(b) Es gilt \( g g T(f, g)=u f+v g \) für gewisse \( u, v \in K[x] \) und \( u, v \) können mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus berechnet werden.
