Unbestimmtes Integral berechnen mit Bruch

Question

Aufgabe:

(2x⁴-x³-15x²+18)/((x-2)(x+3)) integrieren

Problem/Ansatz:

Ich hab‘s bereits nach (2x⁴-x³-15x²+18)/(x²+x-6) umstellen können.

Anschließend hätte ich versucht, den Nenner hochzubekommen: … +x^-2+x^-1-6^-1.

Wenn ich dann weiterrechne kommt nicht das Ergebnis des Lehrers heraus. Ergebnis laut Lehrer: 2/3x³-3/2x²+c.

Der Taschenrechner spuckt irgendwas langes mit ln… aus.

Comments

Was Du da mit "den Nenner hochbekommen" beschreibst, sieht falsch aus. Du solltest das klären, was Du da machen wolltest.

Standardmäßig wäre hier zunächst Polynomdivision durchzuführen. Dann den Rest mit Partialbruchzerlegung bearbeiten....

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Nach meinen Berechnungen ist$$\frac{2x^4-x^3-15x^2+18}{(x-2)(x+3)}=2x^2-3x-\frac{18}{5(x-2)}-\frac{72}{5(x+3)}.$$

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Sollte es im Zähler vielleicht \(2x^4-x^3-15x^2+18x\) lauten?
Dann stünde dort \(x(2x-3)(x-2)(x+3)\) und könnte gegen den Nenner gekürzt werden.
Dann kommt man auch auf die Musterlösung.

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Du hast Recht.

Wie hast du es geschafft, den Term so umzuformen, dass (x-2)(x+3) zum kürzen stehen bleibt?

Gibts da eine einfache Vorgehensweise?

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Suche nach Nullstellen des Zählers. Neben der Null findet man relativ schnell weitere Nullstellen bei -3 und 2.
Damit ist der Zähler ohne Rest durch (x+3)·(x-2) teilbar.

Answer 1

Text erkannt:

1 Regroup terms.
\( \int \frac{2 x^{4}-3 x-15 x^{2}+18}{(x-2)(x+3)} d x \)
2) Polynomial Division
\( \int 2 x^{4}-15 x^{2}-3 x+18 d x \)
(3) Use Power Rule: \( \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \).
\( \frac{2 x^{5}}{5}-5 x^{3}-\frac{3 x^{2}}{2}+18 x \)
(4) Add constant.
\( \frac{2 x^{5}}{5}-5 x^{3}-\frac{3 x^{2}}{2}+18 x+C \)
Done

Comments

Vielleicht ein wenig eigenwillig.