Polynomfunktion 3. Grades mit Tiefpunkt und Tangente

Question

Aufgabe:

f schneidet x-Achse bei (-3/0), Tiefpunkt (-2 / -7/5). Steigung der Tangente an der Stelle 4 ist -16.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich da vor?

Comments

zur Kontrolle: die Funktion lautet$$f\left(x\right)=-\frac{31}{105}x^{3}-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{92}{105}x+\frac{23}{35}$$

Stimmen die Zahlenwerte in der Aufgabenstellung? \((-3|\,0)\), Tiefpunkt \((-2|\, -7/5)\), \(f'(4)=-16\)

Answer 1

Hallo,

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f(-3)=0 = -27a +9b -3c +d

f(-2)=-1,4=-8a+4b-2c+d

f'(-2)=0=12a-4b+c

f'(4)=-16=48a+8b+c

:-)

Answer 2

f schneidet x-Achse bei (-3|0), Tiefpunkt (-2 | -7/5). Steigung der Tangente an der Stelle 4 ist -16.

f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d

f schneidet x-Achse bei (-3|0):

f(-3)=a*(-3)^3+b*(-3)^2+c*(-3)+d

1.)a*(-3)^3+b*(-3)^2+c*(-3)+d=0

Tiefpunkt (-2 | -7/5):

f(-2)=a*(-2)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d

2.)a*(-2)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d=-7/5

waagerechte Tangente beim Tiefpunkt: f´(-2)=0:

f´(x)=3a*x^2+2bx+c

f´(-2)=3a*(-2)^2+2*(-2)+c

3.) 3a*(-2)^2+2*(-2)+c=0

Steigung der Tangente an der Stelle 4 ist -16:

f´(4)=3a*4^2+2b*4+c

4.)3a*4^2+2b*4+c=-16

Löse nun dieses Gleichungssystem.

Answer 3

Polynomfunktion 3. Grades

(1)        \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

f schneidet x-Achse bei (-3/0)

Funktionswert von \(0\) an der Stelle \(-3\) liefert

(2)        \(a\cdot (-3)^3 + b\cdot (-3)^2 + c\cdot (-3) + d = 0\)

Tiefpunkt (-2 / -7/5).

        \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)

Tiefpunkt bei \(-2\) liefert

(3)        \(3a\cdot(-2)^2 + 2b\cdot(-2) + c = 0\)

Funktionswert von \(-\frac{7}{5}\) an der Stelle \(-2\) liefert

(4)        \(a\cdot (-2)^3 + b\cdot (-2)^2 + c\cdot (-2) + d = -\frac{7}{5}\)

Steigung der Tangente an der Stelle 4 ist -16.

(5)        \(3a\cdot 4^2 + 2b\cdot 4 + c = -16\)

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Setze die Lösung in (1) ein.