Glücksrad: Wie viele Möglichkeiten oder Chancen gibt es, dass sich eine Zahlenkombination wiederholt?

Question

wenn ich eine zahlenreihenfolge z.b. 1-2-5-10-20-+ habe und die 12 mal hintereinander. wenn ich die auf ein rad klebe und dann drehe. wie viele Möglichkeiten oder Chancen gibt es, dass sich eine bestimmte zahlenkombi wiederholt?

danke im voraus

Answer 1

ich nehme an, dass auf deinem Rad alle Zahlen gleichverteilt sind. Dann ist es unerheblich, ob du die Zahlenfolge \( 12 \)-, \( 20 \)- oder \( 1 \)-mal auf dein Rad klebst.

Wir vereinfachen die Aufgabe also derart, dass jede Zahl der Zahlenfolge genau einmal auf dem Rad vorkommt. Zudem seien die Zahlen der Zahlenreihenfolge paarweise verschieden.

Die folgende Rechnung würde ihre Symmetrie verlieren, wenn die Zahlen nicht alle paarweise verschieden wären. Da sie paarweise verschieden sind, liegt ein sogenannter Laplace-Versuch vor (alle Ereignisse sind gleichwahrscheinlich).

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sei \( p = \frac{1}{m} \) mit \( m \) als Anzahl der Zahlen in der Zahlenreihenfolge.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine bestimmte Zahlenkombination wiederholt, hängt von der Länge der Zahlenkombination ab. Sei diese \( n \). Dann ist die Wahrscheinlichkeit \( P_k \), dass sich eine bestimmte Folge \(k\)-mal wiederholt gegeben durch

\( P_k = (p^n)^k= p^{n \cdot k} = \left( \frac{1}{m} \right)^{nk} \).

Die Versuchsklasse heißt "\( n \)-mal Ziehen mit Zurücklegen".

MfG

Mister

PS: Wenn du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ziffernfolge berechnen willst, so ist diese Berechnung unweit schwieriger und hängt auch von den einzelnen Zahlen an sich ab.

Comments

Vielen dank du hast mir sehr geholfen. Zudem sind aber am rad genau diese zahlenreihenfolge 12 mal oben. Wie wäre dann die warhrscheinlichkeit oder die möglichkeit eine gleiche zahlwiederholung zu bekommen?

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Die Wahrscheinlichkeit ist genau die gleiche, solange von jeder Zahl aus der Zahlenreihenfolge gleich viele (also 12) auf dem Rad sind (siehe erster Absatz). Sie müssen auch nicht in einer bestimmten Reihenfolge auftauchen.

Genau genommen, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahlenreihenfolge aus \( N \) Zahlen durch \( P = p^N= \left( \frac{1}{m} \right)^N \) gegeben.

Dass sich eine \( n \) Stellen lange Zahlenreihenfolge \( k \)-mal wiederholt, ist also genauso wahrscheinlich, wie, dass sich eine \( N = nk \)-lange Zahlenreihenfolge genau einmal abspielt.

Zwischen diesen Szenarien besteht also kein Unterschied. Insbesondere in der Wiederholung steckt keine ausgezeichnete Information (Bei Würfeln ist "111" auch genauso wahrscheinlich wie "625").

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Cool vielen dank. Könnte ma aber auch berechnen wepche ziffer als nächstes kommt ohne dass man drehen müsste?

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Nein, das geht nicht. Denn das ist ja die Natur von Wahrscheinlichkeitsexperimenten, dass man nicht weiß, welche Zahl als nächstes kommt.

Du kannst aber wohl die durchschnittliche Zahl ausrechnen, die bei häufiger Versuchswiederholung wahrscheinlich gedreht wird. Diese ist der Erwartungswert des Versuchs und entspricht im Laplace-Versuch dem gleichgewichteten Durchschnitt oder arithmetischen Mittel aller möglichen Versuchsausgänge.

Übrigens, siehe "PS" oben: Ziffernfolge ist schwieriger zu berechnen als Zahlenfolge.