Ich probiere zu zeigen, dass cos x=0 nur für x∈M mit M:={π/2+kπ | k ∈ ℕ} gilt.

Question

Hallo Leute,

Ich probiere zu zeigen, dass cos x=0 nur für x∈M mit M:={π/2+kπ | k ∈ ℕ}  gilt.

Eigener Ansatz:

Ich habe um auf eine Idee zu kommen, erstmal den Intervall [π/2,3π/2+π] mit der Länge 2pi aufgeschrieben.

Aus cos x=0 folgt cos x=0 = - cos x = cos (x+π),

Es muss also x+π eine weitere Nullstelle von cos x sein.

Angenommen es gibt nun ein x∈ ]π/2,3π/2+π[ mit cos x = 0, dann folgt x≠3π/2, da cos (x+π)=0, aber (3π/2+π)∉]π/2,3π/2+π[ ....weiter komme ich nicht

Ich kann die Additionstheoreme, sowie die Eulerformel verwenden, π ist bei uns als das zweifach der kleinsten Nullstelle vom Cosinus definiert. Man kann wohl mit der Periodizität argumentieren.

Answer 1

π ist bei uns als das zweifach der kleinsten Nullstelle vom Cosinus definiert.
wird wohl so sein:

π ist bei uns als das Zweifache der kleinsten POSITIVEN Nullstelle vom Cosinus definiert.

Wegen der Periodizität kannst du dich auf das Innere des Intervalls von

0 bis 2π beschränken, und schauen, was es dort für Nullstellen geben kann.

Denn wegen cos(0)=1 ist 0 keine.

Zwischen 0 und π/2 gibt es nach eurer Def. von π schon mal keine. #

Für 3π/2 hast du ja oben schon argumentiert.

Wäre zwischen 3π/2 und 2π eine, dann auch (Periodizität) zwischen

-π/2 und 0 . Wegen cos(x)=cos(-x) also auch zwischen 0 und π/2 im

Widerspruch zu #.

Bleibt der Bereich von π/2  bis 3π/2. Wäre dazwischen was, dann auch

nach deinem Argument von oben im Bereich von - π/2 bis π/2, was wir

gerade aber ausgeschlossen hatten.