Hallo :-)
Für reellwertige Funktionen (mindestens zweimal differentierbar!!!) \(f: \ [a,b]\to \R\) gibt es bei der Trapezregel folgende Fehlerabschätzung:
$$ |E^{(n)}(f)|\leq \frac{b-a}{12} \cdot h^2\cdot \max_{a\leq t\leq b} |f''(t)|. $$
Dabei beschreibt \(h\) die Schrittweite auf dem Intervall \([a,b]\).
Mehr dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Trapezregel#Fehlerabsch%C3%A4tzung_2
Betrachten wir also deine Funktion \(f: \ [-4,4]\to \R\) mit \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}\).
Die zweite Ableitung von \(f\) lautet nun: \(f''(x)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot (x^2-1)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}\).
Mit Kurvendisskusion kommt man auf die Extrem-Kandidaten: \(x_1=-\sqrt{3},\quad x_2=0, \quad x_3=\sqrt{3}\) sowie die Randpunkte des Intervalls \(x_4=-4,\quad x_5=4\).
Folgender Vergleich der Abschätzungen:
1.) \(|f''(0)|=\left|\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot (0^2-1)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 0^2}\right |=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}<\frac{1}{\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{1}{2}=0.5\) (*)
2.) \(|f''(\sqrt{3})|=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot (\sqrt{3}^2-1)\cdot e^{-\frac{\sqrt{3}^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot 2 \cdot e^{-\frac{3}{2}}\stackrel{(*)}{<}0.5\cdot 2\cdot e^{-\frac{3}{2}}\\=e^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}\leq \frac{1}{1+\frac{3}{2}}=0.4\)
3.) \(|f''(-\sqrt{3}|)<0.4\) (analog wie in 2.) )
4.) \(|f''(-4)|=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot ((-4)^2-1)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot (-4)^2}=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi}}\cdot 15 \cdot e^{-8}\stackrel{(*)}{<} \frac{1}{2}\cdot 15 \cdot \frac{1}{e^8}\\<\frac{1}{2}\cdot 15\cdot \frac{1}{9}=\frac{5}{6}=0.8333....\)
5.) \(|f''(4)|<\frac{5}{6}=0.8333....\) (anaolg wie in 4.) )
Daraus folgt also: \(\max\limits_{-4\leq t\leq 4} |f''(t)|<\frac{5}{6}\).
Eingesetzt in die Fehlerabschätzung macht man jetzt folgende Fehlerbetrachtung:
$$ |E^{(n)}(f)|\leq \frac{b-a}{12} \cdot h^2\cdot \max_{a\leq t\leq b} |f''(t)|=\frac{2}{3} \cdot h^2\cdot \max_{a\leq t\leq b} |f''(t)|<\frac{2}{3} \cdot h^2\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{9}\cdot h^2 \stackrel{!}{<}10^{-6} $$
Betrachte nun:
$$ \frac{5}{9}\cdot h^2 < 10^{-6} \Leftrightarrow h^2<\frac{9}{5}\cdot 10^{-6} \Rightarrow h<\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot 10^{-3}. $$
Wegen \(1=\frac{3}{3}=\frac{3}{\sqrt{9}}<\frac{3}{\sqrt{5}}<\frac{3}{\sqrt{4}}=1.5\) wähle also \(h=10^{-3}=0.001\) als Schrittweite.
Bei dieser Schrittweite musst du auf dem Intervall im schlimmsten Fall 8000 Iterationen durchführen.
Ich gehe mal bei deinen Berechnungen vom IEEE754-Standard aus, mit double precision. Du hast also 15 signifikante Nachkommastellen. Bei jedem float (entsteht durch Zwischenrechnungen) hast du also einen Fehler von weniger als \(10^{-15}\). Bei Zwischenrechnungen kommt man also auf etwa \(8000\cdot 10^{-15}<10^4\cdot 10^{-15}=10^{-11}\) Abweichung. Diese ist aber vernachlässigbar, denn $$10^{-11}+|E^{(n)}(f)|<10^{-11}+\frac{5}{9}\cdot h^2=10^{-11}+\frac{5}{9}\cdot 10^{-6}<10^{-6}. $$
