DGL im Distributionensinne lösen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine stetige Funktion g , welche im Sinne von Distributionen die DGL:

$$ g''(x) -g(x) = \delta(x)$$

löst, dabei auch g(x) = 0 für x <0  erfüllt.

Problem/Ansatz:

Man soll dies mit dem Ansatz $$ g(x) = \theta(x) h(x) lösen.$$ Muss ich einfach beide seiten integrieren? Verstehe den Ansatz nicht bräuchte bitte einen Lösungsweg um es zu verstehen, ich würde sonst nämlich Fouriertransformation anwenden, dies soll man aber nicht da es anscheinend warum auch immer bei dieser Aufgabe nicht hilft

Comments

Wie habt Ihr denn die Ableitung von Distributionen definiert? Also was bedeutet g" im Sinne von Distributionen?

Im übrigen musst Du zunächst h so bestimmen, dass h"-h=0 ist, klassisch.

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Glaub hab einen weiteren Ansatz, also ich hab meine Funktion g, und leite ab in dem sinne der Distributionen auf eine Testfunktion, somit würde ich die Ableitung von g bekommen und durch 2maliges ableiten die 2te ableitung. So würde ich mal vorgehen und dafür muss ich h bestimmen oder? Woher weiß ich aber dass ich h bestimme indem ich so vorgehe wie du es gesagt hast

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Ich hab nun rumprobiert die Lösung der DGL mit h''-h = 0, ist ja $$ c_1 e^x + c_2 e^{-x} $$ nur weiß ich echt nichts damit anzufangen durch rumprobieren wäre ich drauf gekommen dass eventuell $$ g(x) = \theta(x)x+x $$  ist, aber bräuchte hilfe wie ich es legitim berechnen könnte

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Ich komme auf meine erste Frage zurück: Was bedeutet 2. Distributionelle Ableitung?

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ich hab meine Funktion g zb, leite im distributionensinne auf eine testfunktion das ganze ab, da die Funktion an sich nicht differenzierbar ist, somit erhalte ich meine ableitung im Sinne von disitrvutionen dies widerrum abgeleitet entspricht meiner 2. Ableitung.

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Ich hatte eher an eine förmliche Definition gedacht. Aber mach doch einfach mal, berechne g" für das gegebene g..

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$$g(x) = \theta(x) h(x) $$

$$g'(x) = \delta(x) h(x) + \theta(x)h'(x) $$

Aber der erste term der ableitung fällt weg, da die deltafunktion mit einem Faktor 0 ergibt.

somit ist:

$$ g''(x) = \delta(x) h'(x) + \theta(x)h''(x)$$, erste Term fällt wieder weg wenn ich nun g'' und g einsetze in die Dgl erhalte ich:

$$\theta(x) h''(x) - \theta(x)h(x) = \delta(x) $$

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deltafunktion mit einem Faktor 0 ergibt.

Das ist falsch, es gilt \(h\delta=h(0)\delta\).

Warum sollte in der letzten Zeile die rechte Seite gleicjh delta sein, wenn die linke gleich 0 ist?

Ich habe mal eine Lösung aufgeschrieben.

Answer 1

Hallo,

Es sei also \(h(x)=c\exp(x)+d\exp(-x), c,d \in \mathbb{R}\). Also gilt \(h''-h=0\). h ist beliebig oft differenzierbar, daher kann h mit Distributionen multipliziert werden und es gilt für die Ableitungen die Produktregel. Also:

$$g=h\theta \Rightarrow g'=h'\theta+h\delta=h'\theta+h(0)\delta$$

$$g''=h''\theta+h'(0)\delta+h(0)\delta'$$

Zu lösen ist:

$$\delta=g''-g=(h''-h)\theta+h'(0)\delta+h(0)\delta'=h'(0)\delta+h(0)\delta'$$

Also müssen die Konstanten c,d so gewählt werden, dass

$$h'(0)=1 \text{  und }h(0)=0$$

Gruß Mathhilf

Comments

Hey!

Also für die Konstanten kommt mir einmal 1/2 und -1/2 raus, nachdem ich nun die h Funktion habe, habe ich eingesetzt und wieder samt Produktregel der Ableitung jede Ableitung berechnet und am Ende kommt auch das richtige Ergebnis raus. Danke für deine Mühe,Geduld und Zeit!

Nur meine letzte Verständnis Frage wieso gilt h''-h = 0, also woher weißt du das einfach?

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Wenn man es nicht weiß, sieht man es in der letzten Zeile: Der Term mit dem Theta muss verschwinden.