Trennung der Variablen, DGL lösen

Question

Aufgabe:

Folgende DGL ist gegeben. Es soll mit dem Verfahren „Trennung der Variablen“ gearbeitet werden. Stimmt mein Ergenis?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}y^{-3}=2 x^{\frac{1}{2}}+c \quad 1=\sqrt[3]{ } \\ y=-\sqrt[3]{2 x^{2}}+\sqrt[-3]{c} \\ \frac{1}{45}=2 \cdot 0^{-\frac{1}{6}}+c^{-\frac{1}{3}} \\ y=\left(2 x^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{3}}+c^{-\frac{1}{3}} \\ y=2 x^{-\frac{1}{6}}+c^{-\frac{1}{3}} \\ \frac{1}{15}=c^{-\frac{1}{3}}+\frac{1}{1} \sqrt{ } \\ 0,000011=c \\ y=2 x^{-\frac{1}{6}}+45 \\\end{array} \)

Answer 1

Nein. Die Stammfunktion von \(3y^{-2}\) ist sicherlich nicht \(y^{-3}\).

Du kannst deine Lösung selbst prüfen, indem du sie in die DGL einsetzt.

Answer 2

Hallo

y^(-3) ist falsch , linkes Integral.

Versuche das Integral erst selbst zu lösen, zur Kontrolle der Weg dazu:

Probier es erst selbst , dann kannst Du vergleichen:

y=0 ist auch eine Lösung, diese geht bei der Division von 1/y^2 verloren.

Comments

y=0 ist auch eine Lösung,

Letztendlich dann doch nicht, weil das im Widerspruch zu y(0)=45 steht.

(Aber ich begrüße ausdrücklich, dass wenigstens du diese zu betrachtende Variante erwähnt hast.)

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Versuche das Integral erst selbst zu lösen

Dazu wäre es vollkommen ausreichend gewesen, auf den Fehler hinzuweisen. Aber nein, man muss natürlich gleich wieder die komplette Rechnung liefern...

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so kann auch etwas lernen, nicht nur Dein Weg führt zum Erfolg !

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Man kann vor allem dadurch etwas lernen, indem man seine Fehler korrigiert. Der Rechenweg ist dem FS ja anscheinend klar. Es geht hier also gar nicht um "meinen Weg", sondern um die Tatsache, dass dem FS mal wieder die Möglichkeit genommen wird, selbst nachzurechnen, weil man ihm den Rechenweg gleich wieder präsentieren muss.

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Das alte Problem. Wenn man aus einer fertigen Lösung etwas lernen kann, könnte man ja eine vergleichbare Aufgabe vorrechnen. Oder FS könnte eine der zahllosen Lösungen im Netz nachlesen.

Und warum erwähnt eigentlich (fast) keiner, dass man eine Lösung auf Richtigkeit selbst prüfen kann? Ist eben eine andere Lernphilosophie: Lernen durch Glauben an Autoritäten (ha!) oder durch Aufbau eigener Fähigkeiten.

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Ich denke nicht, dass der FS hier aus dem Rechenweg etwas lernen muss; den kennt er ja offensichtlich. Es wurde sich lediglich verrechnet und das passiert jedem von uns mal. Daher reicht ein Hinweis auf den Fehler aus, damit man nochmal nachrechnet.

Lernen durch Glauben an Autoritäten (ha!) oder durch Aufbau eigener Fähigkeiten.

Letzteres wird ja leider von den meisten hier verwehrt.

Answer 3

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{3y^2}{\sqrt{x}} \newline - \frac{1}{y^2} ~dy = \frac{3}{\sqrt{x}} ~ dx \newline \frac{1}{y} = 6 \cdot \sqrt{x} + C \newline y = \frac{1}{6 \cdot \sqrt{x} + C} \newline ~\newline y(0) = \frac{1}{6 \cdot \sqrt{0} + C} = \frac{1}{45} \rightarrow C = 45 \newline~\newline y(x) = \frac{1}{6 \cdot \sqrt{x} + 45}$$

Answer 4

Aloha :)

Bei einem Rechenschritt dividierst du durch \((-3y^2)\). Dabei setzt du stillschweigend voraus, dass \(y(x)\ne0\) ist. Tatsächlich ist aber \(y(x)=0\) eine mögliche Lösung der DGL. Daher solltest du sicherheitshalber schreiben, dass diese mögliche Lösung der Anfangsbedingung \(y(0)=\frac{1}{45}\ne0\) widersrpicht und daher ausgeschlossen werden kann.

Dann würde ich nur durch \((-y^2)\) dividieren und den Faktor \(3\) rechts stehen lassen:$$y'=-\frac{3y^2}{\sqrt x}\quad\bigg|\div(-y^2)$$$$-\frac{y'}{y^2}=\frac{3}{\sqrt x}=3x^{-\frac12}$$

Jetzt erkennt man nämlich sofort, dass links die Ableitung von \(\frac1y\) nach \(x\) steht:$$\left(\frac1y\right)'=\frac{0\cdot y-1\cdot y'}{y^2}=-\frac{y'}{y^2}$$sodass sich die Gleichung vereinfacht:$$\left(\frac1y\right)'=3x^{-\frac12}$$Nun kannst du beide Seiten nach \(dx\) integrieren und die Kehrwerte bilden:$$\frac1y=3\cdot\frac{x^{\frac12}}{\frac12}+C=6\sqrt x+C\quad\bigg|\text{Kehrwerte}$$$$y=\frac{1}{6\sqrt x+C}$$

Die Integrationskonstante folgt aus der Nebenbedingung:$$\frac{1}{45}=y(0)=\frac1C\implies C=45$$sodass als Lösung herauskommt:$$y(x)=\frac{1}{6\sqrt x+45}$$