Also selbst mit wolfram alpha komme ich da selber nur auf eine grottenhässliche Lösung, wenn man deine obige DGL zu dieser hier verändert: $$ a\cdot t\cdot x''(t)+b\cdot e^{c\cdot t}\cdot x''''(t)=0 $$
Du könntest hier zumindest mal \(z(t)=x''(t)\) betrachten, also
$$ a\cdot t\cdot z(t)+b\cdot e^{c\cdot t}\cdot z''(t)=0 $$
und selbst mit wolfram alpha ist das wie gesagt echt schlimm
https://www.wolframalpha.com/input?i=a*t*z%28t%29%2Bb*exp%28c*t%29*z%27%27%28t%29%3D0
Da kannst du es aber beispielsweise zumindest mit konkret gewählten Konstanten \(a_1,...,a_7\in \R_{> 0}\) mal die Euler-Methode benutzen, also ein numerisches Lösungsverfahren, um so deine DGL wenigstens näherungsweise zu lösen.
Oder du machst einen Potenzreihenanstz bzw. entwickelst eine Näherung durch das Taylorpolynom, da man wahrscheinlich hier auch nur schwer eine Formel zur Beschreibung aller Summanden finden wird. Beide hier genannten Ansätze verlangen dann aber konkrete Anfangswerte. Da du hier eine DGL vierter Ordnung hast, benötigst du also erstmal von der ,,nullten" Ableitung bis hin zur dritten Ableitung für ein konkretes \(t_0\in \R\) zb \(t_0=0\), Anfangswerte, ich nenne sie mal $$c_0:=x(t_0), c_1:=x'(t_0), c_2:=x''(t_0), c_3:=x'''(t_0). $$
Jetzt nimmst du deine ursprüngliche DGL daher und stellst diese mal nach der höchsten Ableitung um:
$$ x''''(t)=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot x(t)-a_2\cdot x'(t)-a_3\cdot t\cdot x''(t)-a_4\cdot x'''(t)\right) $$
Damit kannst du jetzt die Euler-Methode verwenden.
Oder die Taylorentwicklung, indem du diesen umgestellten Ausdruck stufenweise weiter ableitest und dann so an der gegebenen Stelle \(t_0\) auswertest. Allerdings ist gerade bei diesem Weg zu bedenken, dass der Konvergenzbereich der entstehenden Potenzreihe von \(t_0\) abhängen kann. Hier kannst du aber wenigstens noch den fünften Summanden relativ einfach ausrechnen:
$$ c_4:=x''''(t_0)=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t_0}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot x(t_0)-a_2\cdot x'(t_0)-a_3\cdot t_0\cdot x''(t_0)-a_4\cdot x'''(t_0)\right)\\=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot c_0-a_2\cdot c_1-a_3\cdot t_0\cdot c_2-a_4\cdot c_3\right) $$
Und so hättest du zumindest schonmal eine polynomielle Näherung vom Grad vier:
$$ x(t)\approx x(t_0)+x'(t_0)\cdot (t-t_0)+\frac{1}{2}\cdot x''(t_0)\cdot (t-t_0)^2+\frac{1}{6}\cdot x'''(t_0) \cdot (t-t_0)^3+\frac{1}{24}\cdot x''''(t_0)\cdot (t-t_0)^4\\=c_0+c_1\cdot (t-t_0)+\frac{1}{2}\cdot c_2\cdot (t-t_0)^2+\frac{1}{6}\cdot c_3 \cdot (t-t_0)^3+\frac{1}{24}\cdot c_4 \cdot (t-t_0)^4 $$
Und so kannst du das jetzt beliebig weiter fortsetzen. Bedenke aber, dass das jetzt nur eine Idee ist, wie man sonst heran gehen kann, weil ich jetzt hier nicht beleuchtet habe, ob es überhaupt eine Lösung gibt und in welchem Bereich die Potenzreihe (und ob) sie überhaupt konvergiert...