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Mit welchem Ansatz ist die Differentialgleichung

a1x(t)+a2x'(t)+a3t*x''(t)+a4x'''(t)+a5(ea6t)x''''(t)=a7 mit a1 bis a7 = const. und >0

zu lösen?

Vor allem interessiert mich, wie mit den nicht konstanten Vorfaktoren t und et vor den Ableitungen der zu suchenden Funktion xn(t) (n=Anzahl der Ableitungen) verfahren werden soll.


Grüße

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a5(ea6t)

Was soll das heißen?

Vorfaktor a5, dann e hoch (a6 mal t)

Woher stammt diese DGL? Hast Du dir diese DGL selbst ausgedacht?

Diese DGL basiert tatsächlich auf meinen eigenen Überlegungen. Ich könnte die irrelevanten Teile auch weglassen. Prinzipiell geht es mir nur darum, ob eine DGL mindestens zweiter Ordnung (da sonst Trennung der Variablen möglich) mit variablen Koeffizienten (in diesem Fall t und e^t) überhaupt gelöst werden kann. Und falls ja, wie der Ansatz dazu ist?

Ich könnte die irrelevanten Teile auch weglassen

Was meinst du damit?

Die Ableitungen von x mit den konstanten Koeffizienten, die nicht von t abhängen, können theoretisch auch weggelassen werden, da mich die Lösung der DGL höherer Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten interessiert (t, e^t).

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Beste Antwort

Also selbst mit wolfram alpha komme ich da selber nur auf eine grottenhässliche Lösung, wenn man deine obige DGL zu dieser hier verändert: $$ a\cdot t\cdot x''(t)+b\cdot e^{c\cdot t}\cdot x''''(t)=0 $$
Du könntest hier zumindest mal \(z(t)=x''(t)\) betrachten, also
$$ a\cdot t\cdot z(t)+b\cdot e^{c\cdot t}\cdot z''(t)=0 $$

und selbst mit wolfram alpha ist das wie gesagt echt schlimm
https://www.wolframalpha.com/input?i=a*t*z%28t%29%2Bb*exp%28c*t%29*z%27%27%28t%29%3D0


Da kannst du es aber beispielsweise zumindest mit konkret gewählten Konstanten \(a_1,...,a_7\in \R_{> 0}\) mal die Euler-Methode benutzen, also ein numerisches Lösungsverfahren, um so deine DGL wenigstens näherungsweise zu lösen.

Oder du machst einen Potenzreihenanstz bzw. entwickelst eine Näherung durch das Taylorpolynom, da man wahrscheinlich hier auch nur schwer eine Formel zur Beschreibung aller Summanden finden wird. Beide hier genannten Ansätze verlangen dann aber konkrete Anfangswerte. Da du hier eine DGL vierter Ordnung hast, benötigst du also erstmal von der ,,nullten" Ableitung bis hin zur dritten Ableitung für ein konkretes \(t_0\in \R\) zb \(t_0=0\), Anfangswerte, ich nenne sie mal $$c_0:=x(t_0), c_1:=x'(t_0), c_2:=x''(t_0), c_3:=x'''(t_0). $$

Jetzt nimmst du deine ursprüngliche DGL daher und stellst diese mal nach der höchsten Ableitung um:

$$ x''''(t)=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot x(t)-a_2\cdot x'(t)-a_3\cdot t\cdot x''(t)-a_4\cdot x'''(t)\right) $$

Damit kannst du jetzt die Euler-Methode verwenden.

Oder die Taylorentwicklung, indem du diesen umgestellten Ausdruck stufenweise weiter ableitest und dann so an der gegebenen Stelle \(t_0\) auswertest. Allerdings ist gerade bei diesem Weg zu bedenken, dass der Konvergenzbereich der entstehenden Potenzreihe von \(t_0\) abhängen kann. Hier kannst du aber wenigstens noch den fünften Summanden relativ einfach ausrechnen:

$$ c_4:=x''''(t_0)=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t_0}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot x(t_0)-a_2\cdot x'(t_0)-a_3\cdot t_0\cdot x''(t_0)-a_4\cdot x'''(t_0)\right)\\=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot c_0-a_2\cdot c_1-a_3\cdot t_0\cdot c_2-a_4\cdot c_3\right) $$

Und so hättest du zumindest schonmal eine polynomielle Näherung vom Grad vier:

$$ x(t)\approx x(t_0)+x'(t_0)\cdot (t-t_0)+\frac{1}{2}\cdot x''(t_0)\cdot (t-t_0)^2+\frac{1}{6}\cdot x'''(t_0) \cdot (t-t_0)^3+\frac{1}{24}\cdot x''''(t_0)\cdot (t-t_0)^4\\=c_0+c_1\cdot (t-t_0)+\frac{1}{2}\cdot c_2\cdot (t-t_0)^2+\frac{1}{6}\cdot c_3 \cdot (t-t_0)^3+\frac{1}{24}\cdot c_4 \cdot (t-t_0)^4 $$

Und so kannst du das jetzt beliebig weiter fortsetzen. Bedenke aber, dass das jetzt nur eine Idee ist, wie man sonst heran gehen kann, weil ich jetzt hier nicht beleuchtet habe, ob es überhaupt eine Lösung gibt und in welchem Bereich die Potenzreihe (und ob) sie überhaupt konvergiert...

Avatar von 15 k

Hey hallo97,

danke schonmal für deine beiden Lösungsansätze! Gibt es neben dem numerischen Euler-Verfahren und der Approximation durch den Potenzreihenansatz keine exakte analytische Lösung, die ich per Hand ausrechnen kann? Oder gestaltet sich das als zu schwierig? Ich habe bisher selbst einmal rumprobiert und gesucht und bin auf zwei Sachen gestoßen:

1. DGL 4. Ordnung in DGL-System erster Ordnung umschreiben (y' bis y''' sind dann Konstanten, y^(4) dann die Abl. von y'''), dann mit Trennung der Variablen eine Lösung dieses DGL-Systems ermitteln. Da kommt sogar was raus, nur weiß ich dann nicht, was ich damit anfangen soll?

2. Raten einer Lösung zur Reduktion der Ordnung nach d'Alembert. DGL scheint mir aber zu kompliziert, um irgendwas zu erraten.

Ersteren Ansatz finde ich vielversprechender. aber bisher noch keine analytische Lösung. Geht das überhaupt?

Grüße

Alex

Was bekommst du denn zu 1.) heraus?

Und allgemein muss ich dich wohl enttäuschen. Es gibt halt unverschämt viele DGLs, die sich einfach nicht geschlossen lösen lassen oder schon so kompliziert sind, sodass man beispielsweise dann auf meine obigen genannten Verfahren ausweicht.

Je nach Kontext der Situation kann es auch angebracht sein, die DGL von der Lösbarkeit so passend zu gestalten, um eine geschlossene Lösung zu finden. Aber dann muss man sich im Klaren(!) sein, dass du durch ,,Vereinfachungen" Fehler begehst und du dann eine quantitative Abwägung treffen musst, ob diese entstandenen Fehler je nach Gegebenheit (noch) vertretbar sind.

Das wäre meine Lösung für x_4(t):

Bild_2024-01-13_172238004.png

Text erkannt:

\( x_{4}(t)=e^{\left(\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{1}}\right)}+e^{\left(-a_{6} t+\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{2}}\right)}\left(-\frac{a_{1} x_{1}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{2} x_{2}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{3} t x_{3}}{a_{5} e^{a_{6} t}}+\frac{a_{7}}{a_{5} e^{a_{6} t}}\right) \)

Welche Vereinfachungen (nenne 2?) wären für DGL angebracht? Terme (Ableitungen) weglassen?

Grüße


Text erkannt:

\( x_{4}(t)=e^{\left(\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{1}}\right)}+e^{\left(-a_{6} t+\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{2}}\right)}\left(-\frac{a_{1} x_{1}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{2} x_{2}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{3} t x_{3}}{a_{5} e^{a_{6} t}}+\frac{a_{7}}{a_{5} e^{a_{6} t}}\right) \)

Ah, das kommt mir bekannt vor, weil ich analog wie du wohl vorgegangen bin, indem ich die Ableitungen zu neuen Funktionen \(x_1,...,x_4 \) umbenannt habe. Aber leider ist das ja noch keine Lösung, sondern lediglich ein System von DGLs erster Ordnung, welches deine ursprüngliche GLG beschreibt. Und auch da hat selbst wolfram alpha Schwierigkeiten eine geschlossene Lösung zu finden. Selbst mit anderen Möglichkeiten wie das Modul von Sympy in Python bekomme ich eine Fehlermeldung, dass die ursprünglich gegebene DGL nicht exakt lösbar ist.

Und selbst wenn sie vielleicht doch exakt lösbar sein sollte (habe bisher nur den Computer gefragt...) und man es dann mit der Reduktionsmethode mit d'Alembert versucht, solltest du dir bewusst sein, dass du diesen Spaß ganze viermal durchführen darfst, was nicht einfach durchzuführen sein sollte.

Vorschläge:

1.) Numerisch vorgehen

2.) Potenzreihenansatz

3.) DGL geeignet abändern, sodass man eine geschlossene Lösungsformel bekommt. Das kannst du zb durch stufenweises Weglassen von Ableitungen (vierte Ableitung weglassen und dann schauen, solange bist du was geschlossenes/einfaches bekommst) umsetzen oder du betrachtest nur konstante Faktoren vor den Ableitungen, denn dann bekommst du mittels sogenannter charakteristischer Gleichung immer eine geschlossene Lösungsformel, solange du dich unterhalb von Ableitung 5. Ordnung befindest, denn darüber findet man nachweislich keine geschlossene allegemeine Lösungsformel für Polynomgleichungen ab Grad 5.

Also bin ich prinzipiell auf dem richtigen Weg, wenn ich oben genannten Lösungsschritt nur viermal durchführe, also quasi die Lösung x4 einsetze und dann wieder auf ein DGL-System erster Ordnung herunterbreche?

Falls ja, scheitere ich dann bei der Trennung der Variablen von x_3' + irgendwas*x_3 = rechte Seite an der Integration, die etwas mit der Integralexponentialfunktion zu tun hat (Integral von e^(x*e^x)).

1.) Gibt es zur numerischen Lösung im Internet irgendwelche Rechner, die das lösen können?

2.) Versuch ich vielleicht mal. Gibt's dazu irgendwo ein etwas ausführlicheres Beispiel für z.B. dritte Ordnung?

3.) Ja, DGL mit konstanten Koeffizienten ist mir einleuchtend. Vielleicht probiere ich dahingehend Vereinfachungen.

Was ich mir auch überlegt hatte: Ob man nach der Ordnungsreduktion mit der sich ergebenden DGL dritter Ordnung dann vielleicht ein anderes Verfahren anwenden kann? Sozusagen verschiedene Lösungsansätze für verschiedene Ordnungen. Gut, bei 1. Ordnung in diesem Fall Trennung der Variablen.

Danke soweit! :)

1.) Gibt es zur numerischen Lösung im Internet irgendwelche Rechner, die das lösen können?

Da gibt es verschiedene Plattformen. Wenn du aber Programmieren kannst, dann ist das natürlich noch besser, da du dir deinen eigenen numerischen DGL-Solver zb nach Euler zusammenbauen kannst. Falls nicht, dann kannst du zb Octave nutzen. Ansonsten geht notfalls auch Excel/Libre Office (in Zusammenhang mit Geogebra), wozu es auch Videos gibt.

2.) Versuch ich vielleicht mal. Gibt's dazu irgendwo ein etwas ausführlicheres Beispiel für z.B. dritte Ordnung?

Nicht das ich wüsste...

Habe mal selber aus Neugier einen Potenzreihenansatz (Grad 9, im Punkt 0 entwickelt) berechnen lassen. Hier mal dazu ein Link zu Geogebra:


https://www.geogebra.org/classic/dwrv2sqb


f ist das Näherungspolynom nach Taylor.

g ist die Konstante \(a_7\)

h beschreibt die Ableitungen genau in derselben Linearkombination, wie in der Ausgangs-DGL. Da wo sich h nahezu wie g verhält ist der Bereich, wo f eine brauchbare Näherung darstellt. Das varriert aber stark durch die ganzen Parameter. Habe die Bezeichnung der ganzen Parameter mal aus diesem Gespräch mit übernommen.

Okay, danke dir! Hast mir sehr geholfen, da mal einen breiteren Blick zu geben. Ich bleibe dran!

Grüße

Alex

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