Wie löse ich diese inhomogene lineare DGL 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Question

ich habe folgende DGL: y''+a*y'+b*y= g*(u*cos(ω*x)+v)

mit folgenden Lösungsansatz: yp= A+B*sin(ω*x)+C*cos(ω*x) ;yp'= B*ω*cos(ω*x)-C*ω*sin(ω*x); yp''=-B*ω^2 *sin(ω*x)-C*ω^2 *cos(ω*x)

Das in die inhomogene DGL eingesetzt und vereinfacht

sin(ω*x)*(-B*ω^2 -a*ω*C+b*B)+cos(ω*x)*(-C*ω^2 +a*B*ω+b*C)+b*A= g*u*cos(ω*x)+g*v

Koeffizientenvergleich

I.) -B*ω^2 -a*C*ω+b*B=0

II.) -C*ω^2 +a*B*ω+b*C=g*u

III.) b*A= g*v //b

A=g*v/b

So, bis hierhin komme ich bei B und C mache ich irgendetwas. Wie komme ich auf diese beiden Parameter?

Answer 1

Das heißt ja Koeffizientenvergleich .. Jetzt mußt Du die linke Seite mit der rechten Seite vergleichen betreffs: cos(ωx) und sin(ωx)). Dann bekommst Du B und C.

Comments

Ja, das habe ich auch gemacht oder zumindest versucht, aber das hat nicht so gut geklappt.

I.) -B*ω^2 -a*C*ω+b*B=0 I -b*B I +B*ω^2

I.) -a*C*ω= -b*B+B*ω^2 I /(-a*ω)

I.) C= B*(-b+ω^2 )/(-a*ω)

I in II eingesetzt

I in II:) -ω^2*B*(-b+ω^2 )/(-a*ω) +a*B*ω+b*B*(-b+ω^2 )/(-a*ω)=g*u I -a*B*ω I + B*(-b+ω^2 )/(-a*ω)

b*B*(-b+ω^2 )/(-a*ω)= g*u-a*B*ω+ B*(-b+ω^2 )/(-a*ω)

Ab hier weiß ich einfach nicht mehr was ich machen soll. Entweder übersehe ich irgendwas triviales oder ich habe einen groben Fehler begangen. Kannst du mir dabei vielleicht weiterhelfen?

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Du hast 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten , das man lösen kann.

Löse die eine Gleichung nach C auf und setze das in die andere Gleichung ein , dann hast Du B.

Und wenn Du B hast , setze das in andere  Gleichung ein , dann hast Du C.

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Ja, schon klar, aber ich habe doch schon nach C umgestellt und das dann in die andere Gleichung eingesetzt. Allerdings komme ich an dem Punkt nicht weiter, weil egal was ich mache, ich komme nicht auf B.

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-B*ω² -a*C*ω+b*B=0

diese Gleichung stelltst Du nach C um und setzt das in die andere Gleichung ein.

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Ok, ich bin ein wenig verwirrt, genau das habe ich schon gemacht. Ich schicke das was ich gemacht habe lieber nochmal. Vielleicht ist das bei dir nicht angekommen.

I.) -B*ω² -a*C*ω+b*B=0 I -b*B I +B*ω²

I.) -a*C*ω= -b*B+B*ω² I /(-a*ω)

I.) C= B*(-b+ω² )/(-a*ω)

I in II eingesetzt

I in II:) -ω²*B*(-b+ω² )/(-a*ω) +a*B*ω+b*B*(-b+ω² )/(-a*ω)=g*u I -a*B*ω I + B*(-b+ω² )/(-a*ω)

b*B*(-b+ω² )/(-a*ω)= g*u-a*B*ω+ B*(-b+ω² )/(-a*ω)

Hoffentlich hat es diesmal funktioniert.^^

Da wo ich aufgehört habe komme ich nicht weiter.

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ich bin diesen Weg gegangen:

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Jetzt hab ich mal Deinen Weg weitergerechnet:

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Ok vielen Dank, ich weiß jetzt was ich übersehen habe. Aber du hast bei bei meinem Lösungsweg mit a*ω multipliziert. Muss dann nicht auch auf der rechten Seite der Gleichung damit multipliziert werden?

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na klar

:)