Anfangswertproblem mit konstanten Koeffizienten DGL 3. Ordnung

Question

Aufgabe:

Ich habe Schwierigkeiten bei folgendem Anfangswertproblem:

$$y‘‘‘(x)+y‘‘(x)-y‘(x)-y(x)=e^x$$ mit folgenden Anfangswerten: $$y‘‘(0)=y‘(0)=y(0)=0$$.

Problem/Ansatz:

Leider sehe ich auf keine einfache der homogenen Lösung, die man erraten kann (und die die Anfangsbedingungen erfüllt) und aus der man eine zweite Lösung (und dann die inhomogene Lösung) konstruieren kann.

ich denke, ich könnte mithilfe von einer Greenschen Funktion die DGL mit konstanten Koeffizienten lösen, verstehe aber nicht, wie ich auf die passende Greensche Funktion komme.

Answer 1

Hallo,

Willkommen hier :)

Habe es mal schnell skizziert: (eine Möglichkeit)

zum Schluss in die Lösung die AWB einsetzen.

Weitere Methoden:

-Variation der Konstanten(Wronski Determinante)

-Laplace-transformation

Comments

Vielen Dank, ich hätte mir auch schon überlegt, mit einem Exponentialansatz zu arbeiten, habe mich aber durch die Randwertbedingungen verwirren lassen, denn die e-Funktion wird ja niemals 0 (und kann deswegen nicht die homogene Gl. mit den Anfangswerten erfüllen, das muss sie aber ja auch gar nicht…).

Eine einzige Frage: wie kommt man auf den Ansatz für die partikuläre Lösung? Dass diese die Gleichung erfüllt, ist mir bewusst, aber gibt es eine „Strategie“ um diese aufzustellen? (Und was ist mit „Resonanz“ gemeint?

Viele Grüße

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Ansätze sieh hier:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

in diesem Fall : Seite 2, Punkt 2, Zeile 2

Resonanz:

Man spricht von Resonanz, wenn die aus der Störfunktion abzulesende Zahl

(hier 1 von e^ 1*x) 

eine Nullstelle des charakt. Polynoms ist.(hier ist eine 1)

Answer 2

Hallo

für die homogene den Ansatz y=e^λx

das  Polynom hat die Lösungen 1,-1 also dividiere um die dritte zu finden wieder -1

kommst du damit weiter?

lul