Wie ist diese DGL mit variablen Koeffizienten zu lösen?

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Wie ist diese DGL mit variablen Koeffizienten zu lösen?

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Also selbst mit wolfram alpha komme ich da selber nur auf eine grottenhässliche Lösung, wenn man deine obige DGL zu dieser hier verändert: $$ a\cdot t\cdot x''(t)+b\cdot e^{c\cdot t}\cdot x''''(t)=0 $$
Du könntest hier zumindest mal $z(t)=x''(t)$ betrachten, also
$$ a\cdot t\cdot z(t)+b\cdot e^{c\cdot t}\cdot z''(t)=0 $$

und selbst mit wolfram alpha ist das wie gesagt echt schlimm
https://www.wolframalpha.com/input?i=a*t*z%28t%29%2Bb*exp%28c*t%29*z%27%27%28t%29%3D0

Da kannst du es aber beispielsweise zumindest mit konkret gewählten Konstanten $a_1,...,a_7\in \R_{> 0}$ mal die Euler-Methode benutzen, also ein numerisches Lösungsverfahren, um so deine DGL wenigstens näherungsweise zu lösen.

Oder du machst einen Potenzreihenanstz bzw. entwickelst eine Näherung durch das Taylorpolynom, da man wahrscheinlich hier auch nur schwer eine Formel zur Beschreibung aller Summanden finden wird. Beide hier genannten Ansätze verlangen dann aber konkrete Anfangswerte. Da du hier eine DGL vierter Ordnung hast, benötigst du also erstmal von der ,,nullten" Ableitung bis hin zur dritten Ableitung für ein konkretes $t_0\in \R$ zb $t_0=0$, Anfangswerte, ich nenne sie mal $$c_0:=x(t_0), c_1:=x'(t_0), c_2:=x''(t_0), c_3:=x'''(t_0). $$

Jetzt nimmst du deine ursprüngliche DGL daher und stellst diese mal nach der höchsten Ableitung um:

$$ x''''(t)=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot x(t)-a_2\cdot x'(t)-a_3\cdot t\cdot x''(t)-a_4\cdot x'''(t)\right) $$

Damit kannst du jetzt die Euler-Methode verwenden.

Oder die Taylorentwicklung, indem du diesen umgestellten Ausdruck stufenweise weiter ableitest und dann so an der gegebenen Stelle $t_0$ auswertest. Allerdings ist gerade bei diesem Weg zu bedenken, dass der Konvergenzbereich der entstehenden Potenzreihe von $t_0$ abhängen kann. Hier kannst du aber wenigstens noch den fünften Summanden relativ einfach ausrechnen:

$$ c_4:=x''''(t_0)=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t_0}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot x(t_0)-a_2\cdot x'(t_0)-a_3\cdot t_0\cdot x''(t_0)-a_4\cdot x'''(t_0)\right)\\=\frac{1}{a_5\cdot e^{a_6\cdot t}}\cdot \left(a_7-a_1\cdot c_0-a_2\cdot c_1-a_3\cdot t_0\cdot c_2-a_4\cdot c_3\right) $$

Und so hättest du zumindest schonmal eine polynomielle Näherung vom Grad vier:

$$ x(t)\approx x(t_0)+x'(t_0)\cdot (t-t_0)+\frac{1}{2}\cdot x''(t_0)\cdot (t-t_0)^2+\frac{1}{6}\cdot x'''(t_0) \cdot (t-t_0)^3+\frac{1}{24}\cdot x''''(t_0)\cdot (t-t_0)^4\\=c_0+c_1\cdot (t-t_0)+\frac{1}{2}\cdot c_2\cdot (t-t_0)^2+\frac{1}{6}\cdot c_3 \cdot (t-t_0)^3+\frac{1}{24}\cdot c_4 \cdot (t-t_0)^4 $$

Und so kannst du das jetzt beliebig weiter fortsetzen. Bedenke aber, dass das jetzt nur eine Idee ist, wie man sonst heran gehen kann, weil ich jetzt hier nicht beleuchtet habe, ob es überhaupt eine Lösung gibt und in welchem Bereich die Potenzreihe (und ob) sie überhaupt konvergiert...

Beantwortet 11 Jan von hallo97

Hey hallo97,

danke schonmal für deine beiden Lösungsansätze! Gibt es neben dem numerischen Euler-Verfahren und der Approximation durch den Potenzreihenansatz keine exakte analytische Lösung, die ich per Hand ausrechnen kann? Oder gestaltet sich das als zu schwierig? Ich habe bisher selbst einmal rumprobiert und gesucht und bin auf zwei Sachen gestoßen:

1. DGL 4. Ordnung in DGL-System erster Ordnung umschreiben (y' bis y''' sind dann Konstanten, y^(4) dann die Abl. von y'''), dann mit Trennung der Variablen eine Lösung dieses DGL-Systems ermitteln. Da kommt sogar was raus, nur weiß ich dann nicht, was ich damit anfangen soll?

2. Raten einer Lösung zur Reduktion der Ordnung nach d'Alembert. DGL scheint mir aber zu kompliziert, um irgendwas zu erraten.

Ersteren Ansatz finde ich vielversprechender. aber bisher noch keine analytische Lösung. Geht das überhaupt?

Grüße

Alex

Kommentiert 12 Jan von aLExGO

Das wäre meine Lösung für x_4(t):

Text erkannt:

$ x_{4}(t)=e^{\left(\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{1}}\right)}+e^{\left(-a_{6} t+\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{2}}\right)}\left(-\frac{a_{1} x_{1}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{2} x_{2}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{3} t x_{3}}{a_{5} e^{a_{6} t}}+\frac{a_{7}}{a_{5} e^{a_{6} t}}\right) $

Welche Vereinfachungen (nenne 2?) wären für DGL angebracht? Terme (Ableitungen) weglassen?

Grüße

Text erkannt:

$ x_{4}(t)=e^{\left(\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{1}}\right)}+e^{\left(-a_{6} t+\frac{a_{4}}{a_{5} a_{6} e^{a_{6} t}+K_{2}}\right)}\left(-\frac{a_{1} x_{1}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{2} x_{2}}{a_{5} e^{a_{6} t}}-\frac{a_{3} t x_{3}}{a_{5} e^{a_{6} t}}+\frac{a_{7}}{a_{5} e^{a_{6} t}}\right) $

Kommentiert 13 Jan von aLExGO

Ah, das kommt mir bekannt vor, weil ich analog wie du wohl vorgegangen bin, indem ich die Ableitungen zu neuen Funktionen $x_1,...,x_4 $ umbenannt habe. Aber leider ist das ja noch keine Lösung, sondern lediglich ein System von DGLs erster Ordnung, welches deine ursprüngliche GLG beschreibt. Und auch da hat selbst wolfram alpha Schwierigkeiten eine geschlossene Lösung zu finden. Selbst mit anderen Möglichkeiten wie das Modul von Sympy in Python bekomme ich eine Fehlermeldung, dass die ursprünglich gegebene DGL nicht exakt lösbar ist.

Und selbst wenn sie vielleicht doch exakt lösbar sein sollte (habe bisher nur den Computer gefragt...) und man es dann mit der Reduktionsmethode mit d'Alembert versucht, solltest du dir bewusst sein, dass du diesen Spaß ganze viermal durchführen darfst, was nicht einfach durchzuführen sein sollte.

Vorschläge:

1.) Numerisch vorgehen

2.) Potenzreihenansatz

3.) DGL geeignet abändern, sodass man eine geschlossene Lösungsformel bekommt. Das kannst du zb durch stufenweises Weglassen von Ableitungen (vierte Ableitung weglassen und dann schauen, solange bist du was geschlossenes/einfaches bekommst) umsetzen oder du betrachtest nur konstante Faktoren vor den Ableitungen, denn dann bekommst du mittels sogenannter charakteristischer Gleichung immer eine geschlossene Lösungsformel, solange du dich unterhalb von Ableitung 5. Ordnung befindest, denn darüber findet man nachweislich keine geschlossene allegemeine Lösungsformel für Polynomgleichungen ab Grad 5.

Kommentiert 13 Jan von hallo97

Also bin ich prinzipiell auf dem richtigen Weg, wenn ich oben genannten Lösungsschritt nur viermal durchführe, also quasi die Lösung x4 einsetze und dann wieder auf ein DGL-System erster Ordnung herunterbreche?

Falls ja, scheitere ich dann bei der Trennung der Variablen von x_3' + irgendwas*x_3 = rechte Seite an der Integration, die etwas mit der Integralexponentialfunktion zu tun hat (Integral von e^(x*e^x)).

1.) Gibt es zur numerischen Lösung im Internet irgendwelche Rechner, die das lösen können?

2.) Versuch ich vielleicht mal. Gibt's dazu irgendwo ein etwas ausführlicheres Beispiel für z.B. dritte Ordnung?

3.) Ja, DGL mit konstanten Koeffizienten ist mir einleuchtend. Vielleicht probiere ich dahingehend Vereinfachungen.

Was ich mir auch überlegt hatte: Ob man nach der Ordnungsreduktion mit der sich ergebenden DGL dritter Ordnung dann vielleicht ein anderes Verfahren anwenden kann? Sozusagen verschiedene Lösungsansätze für verschiedene Ordnungen. Gut, bei 1. Ordnung in diesem Fall Trennung der Variablen.

Danke soweit! :)

Kommentiert 13 Jan von aLExGO

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