DGL 2. Ordnung y''+2y'-3y=4e^x mit konstanten Koeffizienten lösen. Wo ist mein Rechenfehler?

Question

Ich habe die DGL:

y''+2y'-3y=4e^x

Das gnze habe ich umgesllte. Dann die Nullstellen vom linken teil berechnet (1 | -3) dann in diese speziele Form gebracht:

C1 e^x +C2 e^-3x

Davon mache ich die erste Ableitung und stelle die Nebenbedingung auf:

C1'(x) *e^x + C2'(x) * e^-3x=0

Jetzt brauche ich noch die Hauptbedinung, die sieht bei mir folgendermaßen aus:

C1 e^x+C1'(x) *e^x+C2'(x) * 9e^-3x-C2'(x) * 3e^-3x =4e^x

Jeztt wollte ich diese einmal addieren und subtrahieren um das Gleichungssystem zu lösen. Allerdings müsste ich doch zuvor nur noch MAXIMAL 2 Variabeln haben dürfen. Eigetnlich C1'(x) und C2'(x).
Aber ich bekome das nicht umgestellt, bzw. habe irgendwo einen Rechenfehler.

Ich wäre dankbar, wenn mir jemand weiter helfen könnte

MFG Birsel

Answer 1

Hi Birsel,

bei Deiner Hauptbedingung steige ich nicht ganz durch. Wie Du da ansetzt.

 

Mein Vorschlag wäre der Ansatz der rechten Seite.

Ansatz:

y=axe^{x}

Beachte, dass es hier ein x braucht, da wir einen Resonanzfall haben.

y'=axe^x+ae^x

y''=axe^x+2ae^x

 

axe^x+2ae^x+2*(axe^x+ae^x)-3axe^x=4e^x

 

Sortieren:

xe^x(a+2a-3a)+e^x(2a+2a)=4e^x

Es folgt daraus:

4a=4

a=1

 

Die Gesamtlösung ist also:

y = C₁(x)*e^x + C₂(x) * e^{-3x} + x*e^x

 

Grüße

Comments

HI,

im Grunde nehme ich : 

C1 e^x +C2 e^-3x

leite es einmal ab. Davon nehme ich die Variablen mit " ' " und bilde die Nebenbedingung.

Jetzt nehme ich die "übrigen" Variablen und leite diese noch einmal ab.

Daraus ergibt sich (bzw. sollte sich) die Hauptbedinung ergeben.

 

Oder stimmt das so nicht.

 

Vielen Dank für deine Hilfe bisher, ich habe es zwar noch nicht ganz verstanden, werde es mir aber nochmal genau anschauen.

 

MFG Birsel

---

Beachte bei Deinem Weg die Produktregel bei der Ableitung ;).

Dann könnte der durchaus auch funktionieren. Würde bei sowas aber eher den Ansatz der rechten Seite empfehlen.

Wenn noch was unklar ist, melde Dich.

---

Was ist denn genau "der Ansatz der rechten Seite"?

Wie muss man dabei vorgehen?

So wie du es oben geschrieben hast? Ist das schon alles?

Und was macht das rote X auf der rechten Seite, eigentlich ist da ja keines


MFG Birsel

---

Für genaueres schau mal hier ab Seite 80:

http://w3-o.cs.hm.edu/~rschwenk/Buchfolien/kapitel10.pdf


Für eine Übersicht schaue hier: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsix/stiemer/ch08/Uebungen/rechte_seiten.pdf


Das zusätzlich x ist der erwähnte Resonanzfall (siehe ersten Link).