Nabla Operator in anderen Koordinaten

Question

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \hat{\boldsymbol{e}}_{x}=\sqrt{2} \boldsymbol{e}_{a}-\boldsymbol{e}_{b} \\ \hat{\boldsymbol{e}}_{y}=\boldsymbol{e}_{b} . \end{array} \)

Wir beginnen mit der Darstellung in \( x \) und \( y \) und ersetzen erst die Vektoren \( \hat{\boldsymbol{e}}_{x} \) und \( \hat{\boldsymbol{e}}_{y} \) und dann die partiellen Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel
\( \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} & =\hat{\boldsymbol{e}}_{x} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\boldsymbol{e}}_{y} \frac{\partial}{\partial y} \\ & =\left(\sqrt{2} \boldsymbol{e}_{a}-\boldsymbol{e}_{b}\right) \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{e}_{b} \frac{\partial}{\partial y} \\ & =\left(\sqrt{2} \boldsymbol{e}_{a}-\boldsymbol{e}_{b}\right)\left(\frac{\partial a}{\partial x} \frac{\partial}{\partial a}+\frac{\partial b}{\partial x} \frac{\partial}{\partial b}\right)+\boldsymbol{e}_{b}\left(\frac{\partial a}{\partial y} \frac{\partial}{\partial a}+\frac{\partial b}{\partial y} \frac{\partial}{\partial b}\right) \\ & =\left(\sqrt{2} \boldsymbol{e}_{a}-\boldsymbol{e}_{b}\right)\left(\sqrt{2} \frac{\partial}{\partial a}-\frac{\partial}{\partial b}\right)+\boldsymbol{e}_{b} \frac{\partial}{\partial b} \\ & =\boldsymbol{e}_{a}\left(2 \frac{\partial}{\partial a}-\sqrt{2} \frac{\partial}{\partial b}\right)+\hat{\boldsymbol{b}}\left(-\sqrt{2} \frac{\partial}{\partial a}+2 \frac{\partial}{\partial b}\right) . \end{aligned} \)

Aufgabe:

Es ist keine Aufgabe sondern eine Erklärung aus meinem Skript für den Nabla Operator in anderen Koordinaten, wobei ich leider die Umformungsschritte nicht vollständig verstehe.

Problem/Ansatz:

Zum einen verstehe ich nicht warum die Partielle Ableitung erweitert wird zu da/dx * d/da usw. Zum anderen verstehe ich leider gar nicht wie wir a überhaupt nach x ableiten können, ich habe zwar die Einheitsvektoren dieses Koordinatensystems gegeben, aber a ist doch die gesamte Achse im neuen Koordinatensystem wenn ich nicht falsch liege ? Das selbe Problem habe ich dann entsprechend mit b. In jedem Fall, über jede Hilfe wäre ich extrem dankbar, auch falls jemand einen Link hat wo das möglicherweise nochmal erklärt wird.

Comments

Ich würde erst gern wissen, wieso bei \(\hat e_x,\hat e_y\) ein Dach drauf ist und bei \(e_a,e_b\) nicht?

Bezeichnet das Symbol \(e_v\) den Einheitsvektor in Richtung \(v\)?

Answer 1

Aloha :)

Hast du die Kettenregel verstanden?

Angenommen du hast 2 Funktionen, die beide von den Variablen \(a\) und \(b\) abhängen:$$x=x(a;b)\quad;\quad y=y(a;b)$$und du hast eine dritte Funktion \(f\), die von den Funktionen \(x\) und \(y\) abhängt:$$f=f(x;y)$$

Dann hängt die Funktion \(f\) ja auch von \(a\) und \(b\) ab, denn du kannst die Funktionsterme für \(x(a;b)\) und \(y(a;b)\) in die Funktion \(f(x;y)\) einsetzen und erhältst dann die Funktion \(f\) in Abhängigkeit von \(a\) und \(b\):$$f(x;y)=f(x(a;b);y(a;b))=f(a;b)$$Nach Einsetzen der Funktionsterme von \(x(a;b)\) und \(y(a;b)\) kannst du die Funktion \(f\) dann partiell nach \(a\) bzw. nach \(b\) ableiten.

Du kannst die partielle Ableitung nach \(a\) oder \(b\) auch ohne vorheriges Einsetzen von \(x(a;b)\) und \(y(a;b)\) bestimmen. Dazu brauchst du dann die Kettenregel:$$\frac{\partial f}{\partial a}=\frac{\partial f(x(a;b);y(a;b))}{\partial a}=\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}\cdot\frac{\partial x(a;b)}{\partial a}+\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}\cdot\frac{\partial y(a;b)}{\partial a}$$Das ist dieses "Erweitern der Brüche", wie du es genannt hast.

Wenn du die Ableitung mit der Kettenregel bestimmt hast, können dort die Funktionen \(x\) und \(y\) immer noch auftauchen. Zur Vereinfachung des Ergebnisses kannst du dann die Funktionsterme von \(x(a;b)\) und \(y(a;b)\) in die Ableitung einsetzen.

Comments

In der vom Fragesteller gegebenen Beispiellösung werden die Differentiale mittels der Kettenregel für Funktionen der Form \(f(a(x,y),b(x,y))\) benutzt und nicht \(f(x(a,b),y(a,b))\).

Außerdem ist

\(f(x;y)=f(x(a;b);y(a;b))\color{red}{=f(a;b)}\)

nicht korrekt, da nach Koordinatentransformation in der Regel der Funktionsterm anders aussieht und nicht durch Ersetzen von \(x,y\) durch \(a,b\) entsteht.

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Dirse Ungenauigkeit ist in Physok und Technik nicht unüblich.

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@tancelation:

Es ging mir bei der Kettenregel um die Erklärung des Prinzips. Ich hätte dazu vielleicht die Abhängigkeiten wie in der Aufgabenstellung wählen sollen. Aber der Fragensteller hat es ja verstanden.

Answer 2

Meines Erachtens fehlt in dieser Rechnung einiges, damit klar wird, was dort passiert.

Es sei

\(E =\{e_x,e_y\}\) die Standardbasis mit

\(e_x= \begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}, e_y= \begin{pmatrix} 0 & 1\end{pmatrix}\)

\(B=\{e_a,e_b\}\) sei die andere Basis.

Damit lassen sich die Vektoren kompakt, aber etwas lax so schreiben:

\( \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}_E = xe_x + ye_y \quad (1)\)

Nun haben wir es mit einer linearen Koordinatentrafo zu tun:

\(xe_x + ye_y= x(\sqrt 2 e_a - e_b) + ye_b\)

\(\boxed{=\underbrace{\sqrt 2 x}_{=a(x,y)}e_a + \underbrace{(y-x)}_{=b(x,y)} e_b \quad (2)}\)

Die Formeln (2) sind für das Verständnis der Rechnung meines Erachtens erforderlich.

Statt jetzt abstrakt mit Differentialen zu rechnen, kannst du dir auch eine Funktion \(f(a,b) = f(a(x,y),b(x,y))\) vorstellen, deren Gradient zu berechnen ist, welcher aber in den Koordinaten der Basis \(B\) anzugeben ist:

\(\nabla f(a,b)= \left(\frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial x}\right)e_x + \left(\frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial y}\right)e_y \)

\(\stackrel{(2)}{=}\left(\frac{\partial f}{\partial a}\cdot \sqrt 2 + \frac{\partial f}{\partial b}\cdot (-1)\right) e_x + \left(\frac{\partial f}{\partial a}\cdot 0 + \frac{\partial f}{\partial b}\cdot 1 \right)e_y = \ldots \)

jetzt die Transformationsformeln (7.7) vom Anfang einsetzen ...

\(... =  \left(\frac{\partial f}{\partial a}\cdot \sqrt 2 - \frac{\partial f}{\partial b}\right) (\sqrt 2 e_a - e_b) + \frac{\partial f}{\partial b}e_b = \ldots\)

nun nach Basisvektoren \(e_a, e_b\) ordnen ...

\(... =  \left(2\frac{\partial f}{\partial a} - \sqrt 2 \frac{\partial f}{\partial b}\right) e_a + \left(-\sqrt 2 \frac{\partial f}{\partial a} + 2\frac{\partial f}{\partial b} \right)e_b\)

Schließlich nur noch \(f(a,b)\) wieder weglassen, und du hast die passenden Differentialoperatoren dastehen.