Der Vektor-Differentialoperator
\( \nabla:=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{array}\right)=e_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+e_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+e_{3} \frac{\partial}{\partial x_{3}} \)
heißt Nabla-Operator.
Für ein Vektorfeld \( v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), wobei \( v \) stetig partiell diff'bar sei, definiert man "Divergenz" und "Rotation" mithilfe des Nabla-Operators, die die Quelldichte bzw. die Wirbeldichte von \( v \) beschreiben.
\( \begin{array}{r} \operatorname{div} v(x):=\nabla \cdot v(x)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} v_{1}(x) \\ v_{2}(x) \\ v_{3}(x) \end{array}\right)=\frac{\partial}{\partial x_{1}} v_{1}(x)+\frac{\partial}{\partial x_{2}} v_{2}(x)+\frac{\partial}{\partial x_{3}} v_{3}(x) \\ \operatorname{rot} v(x):=\nabla \times v(x)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} v_{1}(x) \\ v_{2}(x) \\ v_{3}(x) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{3}} \\ -\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}} \end{array}\right) \end{array} \)
Berechnen Sie die Jacobi-Matrix \( J_{K}(x) \), die Divergenz \( \operatorname{div} K(x) \) und die Rotation \( \operatorname{rot} K(x) \) für
\( K: \mathbb{R}^{3} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, K(x):=\frac{x}{|x|^{5}} \)
