Nabla- und Laplace-Operator

Question

Berechnen Sie:
a) \( \nabla f \) und \( \Delta f:=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} \) für \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=|x| \).
b) \( \nabla F(r, t), F(r, t):=f(r \cos t, r \sin t), f(x, y)=x^{3}-x y+y^{3} \).

Answer 1

Aloha :)

zu a) Bei der ersten partiellen Ableitung von$$f(\vec x)=\left\|\vec x\right\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{\frac12}$$hilft uns die Kettenregel weiter$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{-\frac12}\cdot2x_i=x_i\cdot\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{-\frac12}$$Dies leiten wir nochmal ab mittels Produkt- und Kettenregel$$\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{-\frac12}-\frac{1}{2}x_i\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{-\frac32}\cdot2x_i=\frac{1}{\left\|\vec x\right\|}-\frac{x_i^2}{\left\|\vec x\right\|^3}$$Darüber müssen wir noch die Summe bilden und sind fertig$$\Delta f=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{\left\|\vec x\right\|}-\frac{x_i^2}{\left\|\vec x\right\|^3}\right)=\frac{n}{\left\|\vec x\right\|}-\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}{\left\|\vec x\right\|^3}=\frac{n}{\left\|\vec x\right\|}-\frac{\left\|\vec x\right\|^2}{\left\|\vec x\right\|^3}=\frac{n-1}{\left\|\vec x\right\|}$$

zu b) Der Nabla-Operator leitet partiell nach den kartesischen Koordinaten ab. Daher musst du hier die Funktion \(f(x;y)\) partiell ableiten und anschließend \(x=r\cos t\) und \(y=r\sin t\) einsetzen.$$\vec\nabla F(x;y)=\binom{3x^2-y}{3y^2-x}\quad\implies\quad\vec\nabla F(x=r\cos t;y=r\sin t)=\binom{3r^2\cos^2t-r\sin t}{3r^2\sin^2t-r\cos t}$$