Laplace Operator |x|^(2-n)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \). Wir definieren \( f_{n}: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( f_{2}(x)=-\ln |x| \quad \) beziehungsweise (für \( n \geq 3 \) ) \( \quad f_{n}(x)=|x|^{2-n} \quad \) für \( x \neq 0 \). (Hierin ist \( \left.|\cdot|=\|\cdot\|_{2}.\right) \) Zeigen Sie \( \Delta f_{n}=0 \) in \( \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \).

Problem/Ansatz:

Das Ziel war es das über Induktion zu zeigen. Wenn ich das für n=2 probiere bekomme ich 1/x^2 raus und das ist nicht 0. Oder mache ich etwas falsch?

Comments

Musst du das mit Induktion zeigen? Das kann man doch direkt ausrechnen.

---

Ne muss ich nicht. Das kann man direkt ausrechnen? :D

---

Ich muss hier doch nur nach x ableiten oder?

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r=(x_1;\ldots;x_n)\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$

Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, können wir auch \(f'(r)\) anstatt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) schreiben:$$\pink{\operatorname{grad}f(r)}=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r\pink{=f'(r)\cdot\vec r^0}$$

Davon müssen wir nun die Divergenz bestimmen. Das ist mit der Produktregel für den Nabla-Operator sehr übersichlich:$$\vec\nabla(f'(r)\cdot\vec r^0)=(\vec\nabla f'(r))\cdot\vec r^0+f'(r)\cdot(\vec\nabla\cdot\vec r^0)=\operatorname{grad}f'(r)\cdot\vec r^0+f'(r)\cdot\operatorname{div}(\vec r^0)$$

Den Gradienten kennen wir schon, haben wir ja oben berechnet.

Für die Divergenz des Einheitsvektors gilt mit Quotienten und Kettenregel:$$\operatorname{div}(\vec r^0)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}\right)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1\cdot\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}-x_i\cdot\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}}{(\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2})^2}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec r^0)}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{r-\frac{x_i^2}{r}}{r^2}=\sum\limits_{i=1}^n\frac1r-\frac1r\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i^2}{r^2}=\frac{n}{r}-\frac1r=\frac{n-1}{r}$$

Damit erhalten wir als Laplace-Operator für eine Funktion \(f(r)\), die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt:$$\pink{\Delta f(r)}=(\,f''(r)\cdot\vec r^0\,)\cdot\vec r^0+f'(r)\cdot\frac{n-1}{r}\pink{=f''(r)+(n-1)\cdot\frac{f'(r)}{r}}$$

Da kannst du nun \(f_2(x)\) bzw. \(f_{\ge3}(x)\) bequem einsetzen...

Comments

Vielen Dank. Das meintest du mit "nachrechnen"? :D

---

Diese Formeln für den Gradienten und für den Laplace-Operator sind in der Physik oberwichtig, weil viele Kräfte (also eigentlich fast alle) radial wirken, ihre Stärke also nur vom Abstand \(r\) zum Kraftzentrum abhängt.

Daher meinte ich mit Nachrechnen, einfach in diese Formeln einsetzen ;)

---

Gut zu wissen. Vielen Dank! :) und nochmal eine ganz andere Frage. Wie kann ich hier die Sachen die ich Tippe so schön mathematisch darstellen wie ihr das macht? also dass es nicht so aussieht f(x)=x^2 bspw.

---

kannst mit ZWEI Dollarzeichen und dazwischen deine rechnung wie in latex das schreiben, gibt auch beim Frage stellen ein Latex editor zum überprüfen, ob man richtig eingegeben hat.