Laplace Operator |x|^(2-n)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 2$. Wir definieren $f_{n}: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ durch $f_{2}(x)=-\ln |x| \quad$ beziehungsweise (für $n \geq 3$ ) $\quad f_{n}(x)=|x|^{2-n} \quad$ für $x \neq 0$. (Hierin ist $\left.|\cdot|=\|\cdot\|_{2}.\right)$ Zeigen Sie $\Delta f_{n}=0$ in $\mathbb{R}^{n} \backslash\{0\}$.

Problem/Ansatz:

Das Ziel war es das über Induktion zu zeigen. Wenn ich das für n=2 probiere bekomme ich 1/x² raus und das ist nicht 0. Oder mache ich etwas falsch?

Comments

Musst du das mit Induktion zeigen? Das kann man doch direkt ausrechnen.

---

Ne muss ich nicht. Das kann man direkt ausrechnen? :D

---

Ich muss hier doch nur nach x ableiten oder?

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion $f(r)$ lautet, die nur vom Betrag $r$ des Vektors $\vec r=(x_1;\ldots;x_n)$ abhängt. Die $i$-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$

Da $f(r)$ nur von $r$ abhängt, können wir auch $f'(r)$ anstatt $\frac{\partial f}{\partial r}$ schreiben:$$\pink{\operatorname{grad}f(r)}=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r\pink{=f'(r)\cdot\vec r^0}$$

Davon müssen wir nun die Divergenz bestimmen. Das ist mit der Produktregel für den Nabla-Operator sehr übersichlich:$$\vec\nabla(f'(r)\cdot\vec r^0)=(\vec\nabla f'(r))\cdot\vec r^0+f'(r)\cdot(\vec\nabla\cdot\vec r^0)=\operatorname{grad}f'(r)\cdot\vec r^0+f'(r)\cdot\operatorname{div}(\vec r^0)$$

Den Gradienten kennen wir schon, haben wir ja oben berechnet.

Für die Divergenz des Einheitsvektors gilt mit Quotienten und Kettenregel:$$\operatorname{div}(\vec r^0)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}\right)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1\cdot\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}-x_i\cdot\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}}{(\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2})^2}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec r^0)}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{r-\frac{x_i^2}{r}}{r^2}=\sum\limits_{i=1}^n\frac1r-\frac1r\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i^2}{r^2}=\frac{n}{r}-\frac1r=\frac{n-1}{r}$$

Damit erhalten wir als Laplace-Operator für eine Funktion $f(r)$, die nur vom Betrag $r$ des Vektors $\vec r$ abhängt:$$\pink{\Delta f(r)}=(\,f''(r)\cdot\vec r^0\,)\cdot\vec r^0+f'(r)\cdot\frac{n-1}{r}\pink{=f''(r)+(n-1)\cdot\frac{f'(r)}{r}}$$

Da kannst du nun $f_2(x)$ bzw. $f_{\ge3}(x)$ bequem einsetzen...

Comments

Vielen Dank. Das meintest du mit "nachrechnen"? :D

---

Diese Formeln für den Gradienten und für den Laplace-Operator sind in der Physik oberwichtig, weil viele Kräfte (also eigentlich fast alle) radial wirken, ihre Stärke also nur vom Abstand $r$ zum Kraftzentrum abhängt.

Daher meinte ich mit Nachrechnen, einfach in diese Formeln einsetzen ;)

---

Gut zu wissen. Vielen Dank! :) und nochmal eine ganz andere Frage. Wie kann ich hier die Sachen die ich Tippe so schön mathematisch darstellen wie ihr das macht? also dass es nicht so aussieht f(x)=x² bspw.

---

kannst mit ZWEI Dollarzeichen und dazwischen deine rechnung wie in latex das schreiben, gibt auch beim Frage stellen ein Latex editor zum überprüfen, ob man richtig eingegeben hat.