Länge x
Breite y
Höhe z
O=(2x+2y)*z+x*y=27
V=x*y*z (Zielfunktion)
V(x,y)=x*y*(27-x*y)/(2x+2y)
Wolframalpha liefert:
\( \nabla\left(\frac{x y(27-x y)}{2 x+2 y}\right)\\ =\left(-\frac{y^{2}\left(x^{2}+2 x y-27\right)}{2(x+y)^{2}},-\frac{x^{2}\left(2 x y+y^{2}-27\right)}{2(x+y)^{2}}\right) \)
Beide Zähler müssen Null sein. Da x und y positiv sind, müssen nur die Klammerterme betrachtet werden.
x²+2xy-27=0 → x²=27-2xy
y²+2xy-27=0 → y²=27-2xy
--> x=y
--> 3x²=27 → x=y=3
Ein lokales Maximum liegt bei x=3, y=3, z=1,5.
V=13,5