Question

Berechnen Sie Länge, Breite und Höhe einer quaderförmigen Kiste ohne Deckel, sodass die Oberfläche genau \( 27 \mathrm{~cm}^{2} \) beträgt und das Volumen maximal wird. Wie groß ist das maximale Volumen?

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Besteht die Oberläche einer quaderförmige Kiste ohne Deckel nicht aus mindestens zehn Rechtecken, wenn man die Fläche für den Rand der Öffnung mal vernachlässigt?

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Ja, wir haben hier schon die Vermutung "eingepreist", dass der originale Aufgabensteller die Komplexität seiner eigenen Frage nicht erkannt hat.

Answer 1

Wenn bei gegebener Oberfläche ein Quader ohne Deckel) ein maximales Volumen haben soll, müssen zwei Seiten Quadrate sein. 27=2x²+3xy oder (1) y=(27-2x²)/(3x). Dann ist (2) V(x)=x²·(27-2x²)/(3x)=9x-2x³/3 und V'(x)=9-2x². 0=9-2x² hat die positive Lösung x≈2.121320343. Dies in (2) eingesetzt: V(x)≈12,73.

Comments

Wenn bei gegebener Oberfläche ein Quader ohne Deckel) ein maximales Volumen haben soll, müssen zwei Seiten Quadrate sein.

Das musst du erklären! Ich plädiere für eine quadratische Grundfläche und 4 kongruente Rechtecke als Seitenflächen (also 27=a²+4ah bzw. h=\( \frac{27}{4a}-0,25a \)).

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Sind solche Zusatzannahmen erlaubt?

Ohne sie ist die Aufgabe mit konkreten Zahlen nicht lösbar, oder?

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Ohne Zusatz (siehe abakus oder roland) Ist die Aufgabe dann lösbar, wenn man das Maximum der Ortskurve aller Maxima von V_b(x)=b·h·x errechnet. Dabei muss h durch die Nebenbedingung substituiert werden.

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Sind solche Zusatzannahmen erlaubt?

Was mich betrifft, so war das keine "Zusatzannahme". Es ist eine begründbare Tatsache.

Von allen rechteckigen Grundflächen mit gleichem Inhalt hat das Quadrat den kleinsten Umfang. Damit kann die Mantelfläche bei vorgegebener Oberfläche der Kiste im Falle einer quadratischen Grundfläche höher sein als bei einer nur rechteckigen Grundfläche.

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Wenn ich mir Fyzms andere Fragen ansehe, muss wohl eine Funktion mit zwei unabhängigen Variablen betrachtet werden.

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Weil die Aufgabenstellung symmetrisch in a und b ist, muss das doch auch für die Lösung zutreffen.

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Wenn ich mir Fyzms andere Fragen ansehe, muss wohl eine Funktion mit zwei unabhängigen Variablen betrachtet werden.

Ja, sicher ist das als Übungsaufgabe für ein derartiges Standardverfahren gedacht. Ich habe meinen Senf nur dazugegeben, weil

1) Rolands Ansatz mit zwei Quadratflächen sinnlos (bzw. zunächst unbegründet) ist

2) es eben einen leicht nachvollziehbaren Weg abseits sturer Standardverfahren gibt.

Answer 2

Länge x

Breite y

Höhe z

O=(2x+2y)*z+x*y=27

V=x*y*z (Zielfunktion)

V(x,y)=x*y*(27-x*y)/(2x+2y)

Wolframalpha liefert:

\( \nabla\left(\frac{x y(27-x y)}{2 x+2 y}\right)\\ =\left(-\frac{y^{2}\left(x^{2}+2 x y-27\right)}{2(x+y)^{2}},-\frac{x^{2}\left(2 x y+y^{2}-27\right)}{2(x+y)^{2}}\right) \)

Beide Zähler müssen Null sein. Da x und y positiv sind, müssen nur die Klammerterme betrachtet werden.

x²+2xy-27=0 → x²=27-2xy

y²+2xy-27=0 → y²=27-2xy

--> x=y

--> 3x²=27 → x=y=3

Ein lokales Maximum liegt bei x=3, y=3, z=1,5.

V=13,5