Denkfehler bei Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question

Aufgabe:

In einer Urne liegen zwei blaue (B1, B2) und drei rote Kugeln (R1, R2, R3). Mit einem Griff werden drei der Kugeln gezogen.

Stellen Sie mit Hilfe von Tripeln die Ergebnismenge Omega auf.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

a) E1: "Es werden mindestens 2 blaue Kugeln gezogen"

b) E2: "Alle gezogenen Kugeln sind rot"

c) E3: "Es werden mehr rote als blaue Kugeln gezogen"

Problem/Ansatz:

Ich muss wohl einen Denkfehler bei einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe haben, komme aber nicht darauf, wo dieser liegt.

Meine Denkweise ist folgende: Da die Kugeln mit einem Griff gegriffen werden und in den Ereignissen nur nach den entsprechenden Häufigkeiten gefragt wird, sehe ich keinen Grund Permutationen zu berücksichtigen.

Somit habe ich die Ergebnismenge Omega: (B;B;R), (B;R;R), (R;R;R) aufgestellt und komme auf folgende Wahrscheinlichkeiten:

E1 = 1/3 (B;B;R)

E2 = 1/3 (R;R;R)

E3 = 2/3 (B;R;R), (R;R;R)

Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

In einer Urne liegen zwei blaue (B1, B2) und drei rote Kugeln (R1, R2, R3). Mit einem Griff werden drei der Kugeln gezogen.

Stellen Sie mit Hilfe von Tripeln die Ergebnismenge Omega auf.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

a) E1: "Es werden mindestens 2 blaue Kugeln gezogen"

P = 6/60 + 6/60 + 6/60 = 3/10 = 0.3

b) E2: "Alle gezogenen Kugeln sind rot"

P = 6/60 = 1/10 = 0.1

c) E3: "Es werden mehr rote als blaue Kugeln gezogen"

P = 12/60 + 12/60 + 12/60 + 6/60 = 42/60 = 7/10 = 0.7

Comments

Danke! In dem Fall habe ich es jetzt verstanden, die Kugeln sind nummeriert und es gibt diese entsprechenden Kombinationen. Was wäre aber, wenn die Kugeln nicht nummeriert wären und man wirklich nur schaut, welche Kugeln man nach dem ziehen auf der Hand hat (1B;2R), (2B;1R), (3R) unabhängig von der Reihenfolge wie ich das oben gemacht habe? Dort kommt man ja auf fast identische Ergebnisse, wieso aber nur fast und wieso führt diese Herangehensweise hier zu einem nicht ganz richtigen Ergebnis?

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Ich hatte noch einen Fehler drin, den ich verbessert habe.

Wie kommst du z.B. auf

E1 = 1/3 (B;B;R)

Du kannst die Hypergeometrische Verteilung nehmen oder diese auch mit der Pfadregel berechnen.

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Naja, hatte mir anfangs gedacht, dass es eben nur diese 3 Möglichkeiten gibt, da ich nicht zwischen B1 und B2 bzw. R1, R2 und R3 unterschieden hatte.

Somit gab es für mich die Ergebnismenge (B;B;R), (B;R;R) und (R;R;R) bzw. das Verhältnis derer, also zwei Mal blau, einmal rot beim ersten Tripel usw. Auf das Ereignis, dass mindestens 2 blaue Kugeln gezogen werden trifft folglich nur das erste Element der Ergebnismenge zu.

Mir ist jetzt bewusst, dass man eben zwischen den exakten Kugeln unterscheiden muss, kann mir aber noch nicht logisch herleiten, wieso meine Herangehensweise am Anfang nicht auch diese selbe Wahrscheinlichkeit ergibt.

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Nur weil es 3 Möglichkeiten gibt, müssen diese nie die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Nehmen wir mal eine Urne mit 100 Kugeln, davon 1 Kugel rot und 99 Kugeln schwarz.

Es wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel rot ist.

Es gilt

Ω ={R, S}

Aber nun gilt natürlich nicht, dass beide eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 haben. Das siehst du ein, oder?

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Ja, das macht Sinn