Aufgabe: Bei der Aufgabe 2b.) soll in Abhängigkeit von alpha eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1 bestimmt werden.
Problem/Ansatz: Für alpha=1 steht ja dann einfach nur noch der Kern(E3) da.Der Kern von der Einheitmatrix ist doch nur der Nullvektor im Rhoch3.In den Lösungen steht jedoch,dass der Kern(E3) der gesamte Rhoch3 ist.Wie kann das sein,wenn der Kern einer Einheitsmatrix nur aus dem Nullvektor besteht.
Text erkannt:
Vorgegeben sei in Abhängigkeit vom Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) die folgende reelle ( \( 3 \times 3) \)-Matrix
\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \alpha-1 \\ \alpha^{2}-\alpha & \alpha & -2 \cdot \alpha+2 \\ 0 & 0 & \alpha \end{array}\right) . \)
(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von \( A_{\alpha} \).
(b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( \alpha \in \mathbb{R} \) eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert \( \lambda_{1}:=1 \).
(c) Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{R} \), für die die Matrix \( A_{\alpha} \) diagonalisierbar ist.
Lösung:
(a) Das charakteristische Polynom von \( A_{\alpha} \) lautet
\( P_{A_{\alpha}}(\lambda):=\operatorname{det}\left(A_{\alpha}-\lambda \cdot E_{3}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 0 & \alpha-1 \\ \alpha^{2}-\alpha & \alpha-\lambda & -2 \cdot \alpha+2 \\ 0 & 0 & \alpha-\lambda \end{array}\right)=(\alpha-\lambda)^{2} \cdot(1-\lambda) . \)
Damit besitzt die Matrix \( A_{\alpha} \) die Eigenwerte
Dabei bezeichne \( \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3} \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \).
2. Fall: \( \alpha \neq 1 \). In diesem Fall gilt
\( \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & \alpha-1 & 0 \\ \alpha^{2}-\alpha & \alpha-1 & -2 \cdot(\alpha-1) & 0 \\ 0 & 0 & \alpha-1 & 0 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ \alpha & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ \alpha & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
