Bestimmen der euklidischen Normalform einer Isometrie

Question

Aufgabe:

Bestimmen der euklidischen Normalform einer Isometrie

Problem/Ansatz:

Gegeben sei eine Abbildung phi: R^3 -> R^3, mit det phi=-1 und phi sei eine Isometrie.

Zeigen Sie, dass -1 ein Eigenwert von phi ist.

Die Musterlösung begründet es damit, dass phi eine ONB besitzt, bezüglich der die Darstellungsmatrix so aussieht

-1 0 0

0 cos(w) -sin(w)

0 sin(w) cos(w)

also ein Drehkästchen besitzt, und da das Drehkästchen det=1 hat, muss -1 ein EW sein, da die Determinante eine Ähnlichkeitsinvariante ist.

Soweit so gut, das versteh ich auch.

Aber wieso muss die euklidische Normalform unbedingt diese Form haben und ein Drehkästchen haben? Habe ich nicht zu wenig Angaben um das sagen zu können. Bzw warum sind diese zwei Formen ohne Drehkästchen in Isometrienormalform ausgeschlossen, die beide auch Determinate -1 haben:

(1 0 0

0 1 0

0 1 -1) und

(-1 0 0

0 -1 0

0 0 -1)

Answer 1

Die erste von dir genannte Matrix stellt keine Isometrie dar,

weil das Bild von \(e_2\) die Länge \(\sqrt{2}\) hat. Die Längen

sind also nicht invariant.

Für die zweite gilt:

\(\left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&-1\end{array}\right)\) ist ein Drehkästchen mit \(w=\pi\).

Comments

ups ich hab mich verschrieben.

wie sähe es denn mit

( 1 0 0

0 1 0

0 0 -1) aus? denn das hat ja kein drehkästchen.

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Diese Matrix ist ja zu der diag(-1,1,1) ähnlich (einfach die Basisvektoren

permutieren). Die Eindeutigkeit der Normalform ist wie bei der

Jordan-Normalform "bis auf die Reihenfolge der Kästchen" gemeint.

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ok, ich dachte, es gäbe die vorschrift oder konvention, dass zuerst die positiven einser kommen, aber wenn man das als drehkästchen interpretiert, macht das schon sinn.

Aber es ändert ja nichts daran, dass es eine möglichkeit wäre und -1 ist da ja auch ein eigenwert.

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Aber die Musterlösung benutzt ja nur, dass es eine

Basis gibt, bzgl. derer die Matrix die angegebene Form hat.