Quadrik: euklidische Normalform gesucht und geben sie diese in kartesischen Koord. an. A = Diagonalmatrix

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Quadrik \( \mathcal{Q}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+6 x_{2}-12 x_{3}+1=0\right\} \) die Matrixbeschreibung und den Typ. Bestimmen Sie außerdem eine euklidische Normalform und die Gestalt von \( \mathcal{Q} \) und geben Sie ein kartesisches Koordinatensystem an, in dem die Quadrik diese euklidische Normalform annimt.

Problem/Ansatz:

Ich habe soweit als A=

2	0	0
0	3	0
0	0	0

a=(0,6,-12)

c=1

Typ: parabolische Quadrik

Jetzt will ich das in diese Gleichung einsetzten um auf die euklidische Normalform zu kommen.

x^TAx+2a^Tx+c mit x=Fy   F=Matrix aus Eigenvektoren

Da würde man y^TDy+2 (F^Ta)^Ty+c bekommen.  D=F^TAF

Frage:

Weil A eine Diagonalmatrix ist, kann ich das direkt als D benutzen?

Wie bekomme ich F für  F^Ta heraus, ich habe ja nur die Eigenwerte aus der Diagonalmatrix?

Comments

F ist die Matrix aus Eigenvektoren. Du kennst Die Eigenwerte. Dann berechne doch die Eigenvektoren. Du wirst sehen, dass das extrem einfach ist.

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ich hab jetzt herausgefunden, dass bei einer Diagonalmatrix die Einheisvektoren die Eigenvektoren sind.

F=

1	0	0
0	1	0
0	0	0

F^T * 2a = (0,6,0)

Das eingesetzt in

y^TDy+F^T*2a+c=0

ergab das:

2y₁²+3y₂²+6y₁+1=0

Wie gehts weiter?Wie komm ich auf die euklidische Normalform?

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Hallo,

Du musst für alle Eigenwerte, also auch für 0 den Eigenvektor ansetzen. F muss eine orthogonale Matrix sein.

Wenn Du das korrigiert hast: Ich weiß nicht, wie Ihr genau die Normalform definiert habt. Eventuell musst Du noch eine Verschiebung des Koordinatensystems machen.

Gruß Mathhilf

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Ah, danke. Ich werds nochmal probieren :)

Answer 1

Zur Kontrolle,

Es ist keine Drehung notwendig R=id₃, nur eine Verschiebung T

Wenn Du die App (link im anderen post) verwenden willst und genau diese Matrizen verwenden willst, musst Du die Eigenvektoren so lange vertauschen [ ev ] bis diese Form erreicht ist.

Beachte auch dass die Matrix R, oder bei Dir F, eine Drehung ergeben soll, also det(F)=1