Ohne zu behaupten, ich hätte keine Fehler dabei gemacht ...
... erlaube ich meine Version zur Diskussion zu stellen:
$$0= \det \begin{pmatrix} \lambda-2 & 0& 0 \\0 & \lambda -2 & \alpha \\ 0 & \alpha & \lambda -4 \end{pmatrix} $$
$$ 0= (\lambda-2) \cdot( \lambda-2 ) \cdot ( \lambda -4)- \alpha^2 \cdot (\lambda-2) $$
vorklammern des gemeinsamen Faktors (Distributivgesetz)
$$ 0= (\lambda-2) \cdot (( \lambda-2 ) \cdot ( \lambda -4)- \alpha^2 ) $$
womit wir schon ohne Rechnerei, Polynomdivision oder wildes Raten die erste Nullstelle hätten, nämlich $$ \lambda_1 =2 $$ und nun nach der Nullproduktregel den anderen Faktor betrachten können:
$$ 0= (\lambda-2 ) \cdot ( \lambda -4)- \alpha^2 $$
$$ 0= \lambda^2 -6 \lambda +8- \alpha^2 $$ Hier ist die quadratische Ergänzung angenehmer, als die Pehkuhformel:
$$ 0= \lambda^2 -\frac{6}2 \lambda +\left(\frac{6}2 \right)^2 -\left(\frac{6}2 \right)^2+\frac{32}{4}- \alpha^2 $$
$$ 0= \left(\lambda-\frac{6}2 \right)^2 -\left(\frac{6}2 \right)^2+\frac{32}{4}- \alpha^2 $$
$$ 0= \left(\lambda-\frac{6}2 \right)^2 -\frac{36}4 +\frac{32}{4}- \alpha^2 $$
$$ 0= \left(\lambda-\frac{6}2 \right)^2 +\frac{32-36}{4}- \alpha^2 $$
$$ \left(\lambda-\frac62\right)^2 = \alpha^2 + \frac{4}{4} $$
$$ \lambda-\frac62 = \pm \sqrt{1+ \alpha^2 } $$
$$ \lambda_{2,3} =3 \pm \sqrt{1+ \alpha^2 } $$
$$ \lambda_{2} =3 + \sqrt{1+ \alpha^2 } $$
$$ \lambda_{3} =3 - \sqrt{1+ \alpha^2 } $$
Ich bitte um wohlwollende Überprüfung.
