Quadriken: Bestimmen Sie die euklidische Normalform in Abhängigkeit von α

Question

Gegeben ist die Quadrik
$$Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} | 2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}+2 \alpha x_{2} x_{3}-1=0\right\}$$
mit einem Parameter $\alpha \in \mathbb{R}$
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik an.
(b) Bestimmen Sie die euklidische Normalform in Abhängigkeit von $\alpha$ (ohne Koordinatensystem).
(c) Klassifizieren Sie die Quadrik in Abhängigkeit von $\alpha .$

Ich habe keine Ahnung was ich bei der b.) machen muss, wegen der α da. Kann ich einfach die EWe und EVen berechnen, oder kommt da nichts raus?

Answer 1

die det ist doch (ich schreib mal x statt lambda)

-x³ +8x²+a^2x -20x -2a² + 16

und das gibt 0 jedenfalls für x=2

also machst du polynomdivison durch x-2 gibt

-x² +6x +a² - 8  

0 setzen gibt x = 3 ± wurzel(a² + 1 )

also gibt es immer 3 verschiedene Eigenwerte.

Comments

Eine Frage: woher kommt "a^2x" ? bei mir kommt -x³ +8x² -20x +xa² -2a² +16 raus.

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Und wie sehen die Eigenvektoren aus?

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Das a ^2x solte a² * x heißen.

Und dann passt es ja.

Answer 2

Ohne zu behaupten, ich hätte keine Fehler dabei gemacht ...
... erlaube ich meine Version zur Diskussion zu stellen:

$$0= \det \begin{pmatrix} \lambda-2 & 0& 0 \\0 & \lambda -2 & \alpha \\ 0 & \alpha & \lambda -4 \end{pmatrix}$$
$$0= (\lambda-2) \cdot( \lambda-2 ) \cdot ( \lambda -4)- \alpha^2 \cdot (\lambda-2)$$
vorklammern des gemeinsamen Faktors (Distributivgesetz)
$$0= (\lambda-2) \cdot (( \lambda-2 ) \cdot ( \lambda -4)- \alpha^2 )$$
womit wir schon ohne Rechnerei, Polynomdivision oder wildes Raten die erste Nullstelle hätten, nämlich $$\lambda_1 =2$$ und nun nach der Nullproduktregel den anderen Faktor betrachten können:
$$0= (\lambda-2 ) \cdot ( \lambda -4)- \alpha^2$$
$$0= \lambda^2 -6 \lambda +8- \alpha^2$$ Hier ist die quadratische Ergänzung angenehmer, als die Pehkuhformel:
$$0= \lambda^2 -\frac{6}2 \lambda +\left(\frac{6}2 \right)^2 -\left(\frac{6}2 \right)^2+\frac{32}{4}- \alpha^2$$
$$0= \left(\lambda-\frac{6}2 \right)^2 -\left(\frac{6}2 \right)^2+\frac{32}{4}- \alpha^2$$
$$0= \left(\lambda-\frac{6}2 \right)^2 -\frac{36}4 +\frac{32}{4}- \alpha^2$$
$$0= \left(\lambda-\frac{6}2 \right)^2 +\frac{32-36}{4}- \alpha^2$$
$$\left(\lambda-\frac62\right)^2 = \alpha^2 + \frac{4}{4}$$
$$\lambda-\frac62 = \pm \sqrt{1+ \alpha^2 }$$
$$\lambda_{2,3} =3 \pm \sqrt{1+ \alpha^2 }$$
$$\lambda_{2} =3 + \sqrt{1+ \alpha^2 }$$
$$\lambda_{3} =3 - \sqrt{1+ \alpha^2 }$$


Ich bitte um wohlwollende Überprüfung.

Comments

Sind doch die gleichen Ergeb nisse wie bei mir ???

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Ja - aber ein anderer Weg. Und der ist ja bekanntlich das Ziel - besonders wenn's ums Punktesammeln bei Mathearbeiten geht.