Supremum einer Funktion: wieso ist sup sin^2(πx^n) = sup sin^2(πx)?

Question

Hi,

wieso ist sup sin^2(πx^n) = sup sin^2(πx)?

x aus [0,1] und n geht gegen unendlich.

die Antwort sollte sup sin^2(πx^n)=1 sein

Comments

Am leichtesten waere es wohl, wenn du benutzt, dass \mathbb Q dicht in \mathbb R liegt.

Daher kannst du eine Folge (p_n)_n \subset \mathbb Q finden, so dass p_n \to \pi/2 . Mit ggT(a_n,b_n) = 1 , a_n \in \mathbb Z, b_n \in \mathbb N, p_n = \frac{a_n}{b_n}

solltest du jetzt alles haben, um so eine Folge ohne Probleme konstruieren zu können.

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Gemeint war offenbar:

$$  \mathbb Q dicht in \mathbb R liegt.
Daher kannst du eine Folge (p_n)_n \subset \mathbb Q finden, so dass p_n \to \pi/2 . Mit ggT(a_n,b_n) = 1 , a_n \in \mathbb Z, b_n \in \mathbb N, p_n = \frac{a_n}{b_n} $$

Answer 1

Da |sin(x)| durch 1 beschränkt ist, ist es auch dessen Quadrat durch 1 beschränkt. Wähle $$x=2^{-n}$$ respektive $$x=\frac{1}{2}$$ und das Supremum wird jeweils angenommen.

Comments

Danke für die Antwort. Das für x=1/2 das Maximum angenommen ist klar. Aber meiner Meinung nach geht x für n gegen unendlich entweder gegen 0 oder 1. Weil x ja aus dem abgeschlossenem Intervall [0,1] stammt. Wie kann dann x =1/2 sein?

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Oder kann ich mir vorstellen, dass während n gegen unendlich geht (fuer beliebiges x) ist der groesste Wert der angenommen werden kann (also 1) das Supremum?

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Was sollst du denn genau berechnen? Es ist $$sup_{x\in [0,1]} (sin^2(pi x^n))=1 \forall n \in \mathbb N$$ nach obiger Berechnung, also \lim_{n\to \infty} sup_{x\in [0,1]} sin^2(\pi x^n)=\lim_{n \to \infty} 1=1$$.

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Oder soll hier etwa der Limes Superior (d.h. größter Häufungspunkt der Folge) berechnet werden?

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Nein nicht der limes superior. Ich will vor allem wissen weshalb ich die n sozusagen vernachlaessigen kann.... Wie oben geschrieben: meiner meinung nach geht x für n gegen unendlich entweder gegen null oder eins. Wieso spielt das hier beim supremum keine rolle?

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Was da vor 5 Stunden nicht umgewandelt wurde, war:

$$ \lim_{n\to \infty} sup_{x\in [0,1]} sin^2(\pi x^n)=\lim_{n \to \infty} 1=1$$

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 Ich will vor allem wissen weshalb ich die n sozusagen vernachlaessigen kann.... Wie oben geschrieben: meiner meinung nach geht x für n gegen unendlich entweder gegen null oder eins. Wieso spielt das hier beim supremum keine rolle?

Egal, wie gross dein n: An der Stelle 2^{-1/n} ist 

sin^2 (πx^n) = sin^2 (π (2^{-1/n})^n ) = sin^2 ( π2^{-1}) = sin^2 (π/2) = 1.

Das Supremum ist daher immer 1. (Auch wenn x gegen unendlich geht. Ohne Gewähr!).