Viereck ABCD mit A (3/-1/2), B (0/3/4), C (5/5/6), D (8/1/4) als Parallelogramm verifizieren und Flächeninhalt berechnen

Question

Gegeben ist das Viereck ABCD mit A (3/-1/2), B (0/3/4), C (5/5/6), D (8/1/4).
a) Zeigen Sie, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.
- Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?  :-)

Answer 1

ABCD mit A (3/-1/2), B (0/3/4), C (5/5/6), D (8/1/4).

Ich schreibe Vektoren fett. Ergänze Pfeile / schreibe sie vertikal.

AB =0B-0A= (-3|4|2)

DC =0C-0D=  (-3|4|2)

Da AB und DC die gleichen Vektoren sind, handelt es sich um ein Parallelogramm, schlimmstenfalls eins mit der Höhe 0.

Fläche? Vektorprodukt AB x AD berechnen und Betrag davon nehmen.

AD = 0D-0A = (5| 2| 2)

AB x AD = (8-4|-(-6-10)|-6-20) = (4|16|-26)

F = √(4^2 + 16^2 + 26^2) = √948 = 30.79

Da die Fläche nicht 0 ist, hat das Parallelogramm nicht die Höhe 0. qed (nichtentartetes Parallelogramm)

Noch nachrechnen!

Comments

Hallo Lu, gerade beschäftige ich mich mit einer ähnlichen Frage. 

Ist es jedoch möglich das auch im R^{2} zu machen ?

Freundliche Grüsse

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Nur feststellen, dass es ein Parallelogramm ist, funktioniert wie oben auch mit 2 Koordinaten.

Fläche des Parallelogramms: Du kannst deine Aufgabe in die 3. Dimension bringen, indem du bei jedem Punkt eine z-Koordinate 0 hinzufügst. Nun lösen wie oben erklärt. Beim Vektorprodukt wirst du feststellen, dass nur die z-Komponente nicht 0 ist.

Zum Vektorprodukt / Kreuzprodukt:

Beginne mit der geometrischen Definition:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Geometrische_Definition 

Dann hast du weiter unten die Rechengesetze mit Zahlenbeispiel in der 2. Zeile

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung 

Für deinen Fall gibt das bei der ersten und der zweiten Komponente 0.

In der dritten bekommst du die Fläche. Kann sein, dass du noch den Betrag nehmen musst. Stichwort für den 2-dimensionalen Fall ist "Determinante".