Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den selben Rauminhalt besitzt?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, dem ein Kegel rausgeschnitten wird, mit dem Radius r und der Höhe h.

a) geben sie den Rauminhalt des Kegels an.

b) die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den selben Rauminhalt besitzt?

Problem/Ansatz:

a) (2/3)*π*r^2 *h

b) Durch gleichsetzen von \( \frac{2}{3} \) π\( h^{3} \)  mit \( \frac{1}{3} \) π\( h^{2} \) (3r-h)

bin ich zu dem Ergebnis r=h gekommen. Es muss also ein Halbkreis sein.

Bevor ich zu diesem Lösungsansatz gekommen bin habe ich vermehrt auf anderen Seiten das Lösen durch Polynomdivision gefunden. Ich kann aber nicht ganz nachvollziehen wie man zum 3. Teil der der ersten Gleichung der Polynomdivison kommt.\(\frac{(h^3 - 3rh^2 + 2r^3)}{(h - r)} = h^2 - 2rh - 2r^2 \iff h^3 - 3rh^2 + 2r^3 = (h^2 - 2rh - 2r^2)(h - r) \) Welchen Trick haben die Verfasser angewandt um den letzten Teil der ersten Gleichung zu erhalten? Sprich: 2r^2 https://www.mathelounge.de/862079/radius-gehoriger-kugelabschnitt-gleichen-rauminhalt-besitzt?show=862107

\( h^{3} \) - \(( h^{2} \)3r)+2\( r^{3} \) / (h-r) = \( h^{2} \)-2rh - ???

-(\( h^{3} \)-\( h^{2} \)r)

    -2r\( h^{2} \)+2\( r^{3} \)

    - (-2r\( h^{2} \)+2\( r^{2} \)h)

Comments

Rechenzeichen Fehler drin gehabt. Korrigiert. Frage bleibt bestehen

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>geben sie den Rauminhalt des Kegels an<: v= 1/3 r^2 pi h

>damit er den selben Rauminhalt besitzt<: wie?

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Wie der Restkörper

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Korrektur: a) Geben sie den Rauminhalt des Restkörpers an

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Was genau meinst du mit:

"wie man zum 3. Teil der der ersten Gleichung der Polynomdivison kommt"

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Das Ergebnis der Polynomdivision besteht aus h^2, -2rh ( soweit konnte ich mir das auch errechnen) und -2r^3. Ich verstehe nicht ganz wie man zu -2r^3 kommt.

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Mach doch mal die Polynomdivision.

Da kommt das ganz normal raus:

h^3-3rh^2+3r^3 : (h-r) = h^2 -2rh - 2r^2

h^3 - rh^2

-------------

-2rh^2

-2rh^2+2r^2 h

-------------

-2r^2 h+2r^3

-2r^2 h+2r^3

-------------

0

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\( \left(h^{3}-3 r h^{2}+2 r^{3}\right):(h-r)=h^{2}-2 r h \)
\( \frac{-\left(h^{2}-r h^{2}\right)}{-2 r h^{2}+2 r^{3}} \)
\( \frac{-\left(-2 r h^{2}+2 r^{2} h\right)}{2 r^{3}-2 r^{2} h} \)

Aus dem Rest \(2r^3-2r^2h\) kann man \(-2r^2\) ausklammern und erhält \(-2r^2\cdot (h-r)\)

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@willyengland: ich weiß nicht genau was du da gerechnet hast. Ich habe die Polynomdivison so durchgeführt wie @Silvia. Und komme zu dem Ergebnis wie Silvia. Nur leider stimmt dieses Ergebnis nicht mit 2r^3 überein.

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Das Ergebnis der Polynomdivision ist

\( h^{2}-2 r h-2 r^{2} \)

Wie kommst du auf 2r³?

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Ups, ich meinte 2r^2. Aber du sagtest doch gerade, das Ergenis ist der Rest, bei dem man das und jenes ausklammern kann. Genau gesagt: \(-2r^2\cdot (h-r)\) Was aber doch ungleich -2r^2 ist?

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Dann wär das Ergebis der Polynomdivison :

\( h^{2} \)-2rh-2\( r^{2} \)•(h-r)

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Wenn ich \(-2r^2\cdot(h-r)\) durch \((h - r)\) teile, ist das Ergebnis \(-2r^2\)

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Achso. Stimmt ja, der Rest wird durch den Divisor nochmals geteilt. Dankeschön!

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@Silvia, ich würde dir gerne die beste Antwort geben, geht nur leider nicht bei Kommentaren. Aber vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

Man könnte im Kugelsegmet ein mal eine Vermutung (wie im Link festgestellt) anwenden,

aber

\(\frac{-1}{3} \; h^{3} \; \pi - \frac{2}{3} \; r^{3} \; \pi + h^{2} \; r \; \pi = 0\)

\(-\left(h - r \right) \; \left(h^{2} - 2 \; h \; r - 2 \; r^{2} \right) \; \frac{\pi }{3} = 0\)

===> h=r

der quadratische Anteile liefert nix brauchbares...