Geometrie ist weniger meine Stärke, dafür aber Algebra. Ich führe die Rechnungen daher unter der Annahme durch, dass deine aufgestellte Gleichung richtig ist.
Die Gleichung
\( \frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h) = \frac{2}{3}\pi r^3 \)
können wir durch Ausmultiplizieren und wegstreichen der \( \pi \) zu einer kubischen Gleichung mit Variable \(h\) vereinfachen:
\(h^3 - 3rh^2 + 2r^3 = 0 \) (GL.1)
Eine kubische Gleichung hat, weil \( deg(h^3 - 3rh^2 + 2r^3) = 3\) , immer drei komplexe Lösungen. (Fundamentalsatz der Algebra)
Durch Ausprobieren finden wir heraus, dass \(h = r\) eine Lösung ist, denn:
\(h^3 - 3h^3 + 2h^3 = 3h^3 - 3h^3 = 0 \implies h_1 = r\).
Anwenden der Polynomdivision liefert uns:
\(\frac{(h^3 - 3rh^2 + 2r^3)}{(h - r)} = h^2 - 2rh - 2r^2 \iff h^3 - 3rh^2 + 2r^3 = (h^2 - 2rh - 2r^2)(h - r) \).
Damit können wir nun (GL. 1) vereinfachen zu
\( (h^2 - 2rh - 2r^2)(h - r) = 0\).
Die Lösung vom zweiten Faktor haben wir eben ausgerechnet. Bleibt noch die Lösungen vom ersten Faktor zu bestimmen, die wir durch die P-Q-Formel erhalten:
\(h^2 - 2rh - 2r^2 = 0 \iff h_{2,3} = r \ \pm \ \sqrt{r^2 + 2r^2} = r \ \pm \sqrt{3r^2} = r \pm \ r \sqrt{3}\)
Dies liefert uns also die Lösungen \( h_2 = r(1+\sqrt{3})\) und \( h_3 = r(1-\sqrt{3})\).
Zusammengefasst:
\( \frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h) = \frac{2}{3}\pi r^3 \iff h \in \{ r, \ r(1+\sqrt{3}), \ r(1-\sqrt{3})\}\).
Lg
