Also was ich nicht verstehe ist die Folgerung, also v+U = w+U

Question

Aufgabe:Gesucht Beispiel für ein K Vektorraum V einen Unterraum U zwei verschiedene Elemente v und w         in V\U, so dass v +U = w +U

…

Problem/Ansatz:In der Beispiellösung wird $$U =<\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  >  v = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} w = \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix}   es gilt v,w Element U und v -w = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $$ Element U, also v + U = w +U

Also was ich nicht verstehe ist die Folgerung, also v+U = w+U , kann mir das jemand in einfachen Worten erklären ?

Answer 1

v + U = w +U

gilt genau dann, wenn v-w ∈ U.

Denn in v + U sind alle von der Form v + x mit x∈U

und in w +U sind alle von der Form v + y mit y∈U.

Wenn nun v-w ∈ U, dann gibt es also ein u∈U mit v-w=u

also v=w+u ==>    v∈  w +U

==>   v + U ⊆ w +U

und umgekehrt entsprechend.

Comments

Danke, verstanden