Aufgabe:
Bestimmen Sie den Flächeninhalt. Integral von 1 bis -1 , Funktionsschar: |x| 1/a dx
fa(x) = |x|1/a ?
Problem/Ansatz:
Muss ich die Stammfunktion bilden und das Integral einsetzen ,aber wie jetzt?
Vom Duplikat:
Titel: Definitions- und Wertebereich
Stichworte: wertebereich,definitionsbereich,funktion,variablen
Nenne den Werte und Definitionsbereich von fa
f tiefergestelltes a (x)= Betrag von x^1/a für beliebige a Elemente R ausser 0
Titel: Stammfunktion Berechnung integral
Stichworte: stammfunktion,integralrechnung,funktion,integral
Stammfunktion von |x|1/a dx
Ist ( x |x| 1/a) / 1/a+1)Problem/Ansatz:
Ist die Stammfunktion korrekt?
Benutze erstmal die Symmetrie also für x ≥ 0 gilt:
f(x) = x^{1/a}
F(x) = x^(1/a + 1) / (1/a + 1)
∫ (0 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(0) = 1^(1/a + 1) / (1/a + 1) - 0^(1/a + 1) / (1/a + 1)= 1 / (1/a + 1) - 0 = 1 / (1/a + 1)
Dank der Symmetrie verdoppeln wir nur das Integral
∫ (-1 bis 1) |f(x)| dx = 2 / (1/a + 1) = 2·a / (a + 1)
Danke für eure Antworten! Wie sieht es dann bei dem Integral 1 bis unendlich aus?
Eigentlich sollte man statt F(∞) besser lim (b --> ∞) F(b) schreiben.
Damit die Klarheit nicht leidet schreibe ich es trotzdem mal anders.
∫ (1 bis ∞) f(x) dx = F(∞) - F(1)
Erwarte jetzt aber nicht das F(∞) gegen einen sinnvollen Wert konvergiert um die Fläche ausrechnen zu können.
Okay danke! Aber wenn man den Flächeninhalt ausrechnen soll, aber der Wert konvergiert nicht gegen einen sinnvollen Wert um die Fläche auszurechnen.was könnte ich dann als Antwort satz hinschreiben wenn ich den Flächeninhalt zu dem Integral berechnen muss?
Untersuche dann zunächst für welche a die Fläche überhaupt konvergieren kann.
Und dann bestimmst du für diese a den Grenzwert.
Ich komme dabei auf A = - a / (a + 1)
Nochmal eine kurze Frage : wie bist du auf die Stammfunktion bei der ersten Frage auf F(x)= x^(1/a+1)/(1/a+1) gekommen?
Ich weiss leider nicht, ab welches a sie konvertieren kann:/ Sie darf nicht negativ werden?
Wie lautet denn die Potenzregel fürs integrieren. Und für welche a gilt
∞^{1/a} = 0
Nimm mal den Taschenrechner und probiere
9999999999^{1/a}
für verschiedene a aus.
Nähert sich immer weiter den Wert 1 an je grösser das a wird
Es darf nicht gegen 1 gehen, sondern es muss gegen 0 gehen, damit wir eine endliche Fläche bekommen.
Potenzregel: Beim Integrieren addiert man zuerst eine 1 im Exponent und dividiert dann durch neuen Exponenten n+1
Also wäre dies keine eendluche Fläche weil es gegen 1 geht?
Das heißt nur, dass du noch ein wenig weiter mit dem Taschenrechner spielen musst.
Du kennst auch Potenzfunktionen, die für x gegen unendlich gegen 0 konvergieren. Zumindest glaube ich das.
Aber Albstadt wenn ich für a 90.000.000.000.000 eingebe kommt 1 raus
Dann setze halt NICHT 90.000.000.000.000 ein. Kann doch nicht so schwer sein. Wie gesagt es soll nicht 1 herauskommen sondern näherungsweise 0.
Okay, also wenn ich viele Werte für a einsetze, geht der Wert immer weiter gegen 0? Danke!
Also für a=0 konvergiert die Fläche.und für dieses a nun den Grenzwert bestimen
Darfst du in 1/a für a = 0 einsetzen?
Ah mist! a darf nicht 0 sein laut Aufgabenstellung...
\( f_a(x)= x^{\frac{1}{a}} , a≠0 \)
Def.bereich : alle positiven reellen Zahlen
Im Spezialfällen a∈ℕ oder a∈ℤ auch größer.
Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse verläuft, kannst du den halben Flächeninhalt in Form des Integrals von 0 bis 1 berechnen und das Ergebnis verdoppeln.
Für x≥0 gilt zudem |x|=x. Bilde also von der so vereinfachbaren Potenzfunktion die Stammfunktion (nach der Regel, wie man Potenzfunktionen zu integrieren hat).
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