Polynomdivision 4. Grades lösen

Question

Aufgabe:

Führe die Polynomdivison durch

x^4-81 ÷ (x-3) =

Problem/Ansatz:

x^4-81 ÷ (x-3) = 

x^4+0x³+0x²+0x-81= x³+3x²+9x+27

- (x^4-3x³)

  ....

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Ich hatte die Aufgabe so eben in meinem Heft. Ich verstehe das Verfahren an sich bei der Aufgabe. Mich interessiert aber ob es einen Satz oder eine Bedingung gibt, von der ich mir selber ableiten kann, das ich x^4-81 nicht einfach teilen kann durch (x-3), ohne vorher die anderen Koeffizienten mit a=0 eingefügt zu haben (abgesehen von 81)

Comments

Also offensichtlich ist die Bedingung für eine Polynomdivision alle Koefizienten mit a=0 niederzuschreiben, aber gibt es denn irgendwo einen Satz oder Definition die das formal vorher festlegt? Habe eben Polynomdivision gegoogelt aber nichts gefunden dazu auf den ersten 4 Seiten.

Answer 1

(x^4                        - 81) : (x - 3)  =  x^3 + 3x^2 + 9x + 27 
x^4  - 3x^3                   
————————————————————————————————
      3x^3                - 81
      3x^3  - 9x^2           
      —————————————————————————
              9x^2        - 81
              9x^2  - 27x    
              —————————————————
                      27x - 81
                      27x - 81
                      —————————
                              0

Comments

Das war leider nicht meine Frage. Aber danke für die Mühe.

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Die Antwort lautet natürlich kannst du auch teilen ohne die Potenzen mit einem Koeffizienten von 0 einzufügen.

Du musst aber beachten das beim Subtrahieren nur richtig subtrahiert werden kann, wenn du weißt das kein x^2 eben 0 x^2 lautet.

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Ich schreibe ja aber auch nicht +0x^2.5 auf. Oder ist die Bedingung dann das sie nur durchgeführt werden kann wenn es sich um eine ganzrationale Funktion nten Grades handelt mit n Element der natürlichen Zahlen?

und a(n) ungleich 0

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Bei der ersten Subtraktion musst du rechnen

(x^4 - 81) - (x^4 - 3x^3) = ...

Dass kannst du auch ohne zusätzliche Potenzen von x aufzuschreiben oder nicht ?

Aber vielleicht weißt du einfach nicht wie mal Polynome subtrahiert. Vermutlich ist das dein Problem?

Answer 2

Aloha :)

Wieso Polynom-Division?

Hier kannst du doch einfach die 3-te binomische Formel nutzen und kürzen:$$\frac{x^4-81}{x-3}=\frac{(x^2-9)(x^2+9)}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)(x^2+9)}{x-3}=(x+3)(x^2+9)$$

Allgemein bleibt bei der Division eines Polynoms \(p(x)\) durch einen Linearfaktor \((x-a)\) kein Rest, wenn \(p(a)=0\) ist, wenn also \(x=a\) eine Nullstelle von \(p(x)\) ist.

Hier ist \(x=3\) eine Nullstelle von \((x^4-81)\). Daher geht die Division durch \((x-3)\) auf.

Comments

Es ging nur um das Prinzip bei der Aufgabe, also das Prinzip der Polynomdivision.

Answer 3

Zwei Bemerkungen:

1. Statt Polynomdivision anzuwenden kann man auch mit dem Horner-

Schema die Nullstelle \(x=3\) "abspalten":$$\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&-81\\-&3&9&27&81\\ \hline\color{blue}1&\color{blue}3&\color{blue}9&\color{blue}27&0\end{array}$$Also \(x^4-81=(x-3)(x^3+3x^2+9x+27)\)

2. Einheitswurzeln

\(x^4-81=0\iff y^4-1=0\) für \(y=x/3\).

\(y\) ist also 4-te Einheitswurzel \(y\in \{\pm1,\pm i\}\).

Aus der Theorie der Einheitswurzeln bekannt ist

\(y^4-1=(y-1)(y^3+y^2+y+1)\), folglich

\(x^4-81=81(y^4-1)=\)

\(=3(y-1)\cdot 27(y^3+y^2+y+1)=(x-3)(x^3+3x^2+9x+27)\)