Funktionsgleichung mit Parameter t>0. ft(x) = 1/t x^4 -2x^2+t

Question

Gegeben ist für jedes t> 0 die funktion f t= 1/t x^4 -2 x^2+t

A). Untersuchen sie k t auf achsenschnittpunkte

B). Die parallele zur x achse durch den schnittpunkt von k t mit der y achse in schneidet kt in zwei weiteren punkten. Berechnen sie deren Koordinaten.

Comments

Hallo la_ola,

  " A). Untersuchen sie k t auf achsenschnittpunkte "

  was ist das k ???

  mfg Georg

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k ist meist die Punktmenge der Kurve einer Funktion f.

Answer 1

f_t ( x ) = ( 1 / t ) x ⁴ -2 x ² + t

Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist der Funktionswert von f_t an der Stelle x = 0 , also:

y = f_t ( 0 ) = t

Die Funktion f_t schneidet also die y-Achse im Punkt ( 0 | t ).

Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der x-Achse ist gleich Null, also :

f_t ( x ) = 0

<=> ( 1 / t ) x ⁴ - 2 x ² + t = 0

Multiplikation mit t:

<=>  x ⁴ - 2 t x ² + t ² = 0

<=> ( x ² - t ) ² = 0

<=> x ² - t = 0

<=> x ² = t

<=> x = - √ t oder x = √ t

Die Funktion f_t schneidet also die x-Achse in den Punkten ( - √ t | 0 ) und ( √ t | 0 )

B)

Der Schnittpunkt von f_t mit der y-Achse wurde oben berechnet, er lautet: ( 0 | t ) . Die Parallele zur x-Achse durch diesen Punkt hat die Funktionsgleichung p_t ( x ) = t

Die x-Koordinaten der Schnittpunkte von f_t und p_t erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und Auflösen nach x, also:

f_t ( x ) = p_t ( x )

<=> ( 1 / t ) x ⁴ - 2 x ² + t = t

<=> ( 1 / t ) x ⁴ - 2 x ² = 0

<=> x ² * ( ( 1 / t ) x ² - 2 ) = 0

<=> x = 0 oder ( 1 / t ) x ² - 2 = 0

<=> x = 0 oder ( 1 / t ) x ² =  2

<=> x = 0 oder x ² =  2 t

<=> x = 0 oder x = ± √ ( 2 t )

<=> x = 0 oder x = - √ ( 2 t ) oder x = √ ( 2 t )

Die beiden gesuchten zusätzlichen Schnittpunkte haben also die x-Koordinaten x - √ ( 2 t ) bzw. x = √ ( 2 t ). Ihre y-Koordinate ist t, da sie ja auf der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt ( 0 | t ) liegen sollen. Diese aber hat überall den Funktonswert t.

Die Schnittpunkte sind daher:

S₁ ( - √ ( 2 t ) | t ) bzw. S₂ ( √ ( 2 t ) | t ).

 

Hier zur Überprüfung ein Schaubild der Graphen von f_t ( x ) und p_t  ( x ) für t = 4.

Gemäß den Berechnungen müssen sich die Schnittpunkte mit den Achsen

S_x1 ( - 2 | 0 ) und  S_x2 (  2 | 0 )

ergeben, sowie als zusätzliche Schnittpunkte der Parallelen p_t ( x ) mit der Funktion f_t ( x ) die Punkte

S₁ ( - √ ( 8 ) | 4 ) bzw. S₂ ( √ ( 8 ) | 4 )

( √ ( 8 ) ≈ 2,83 )

Das ist der Fall, wie man aus dem Schaubild ablesen kann:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%29x^4-2x^2%2B4%2C0x%2B4