erzeugte Untergruppe von A ist Teilmenge von G

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und A ⊂ G. Die von A erzeugt Untergruppe erz(A) ist definiert durch

                            erz(A):= { a1*...*an | n ∈ N, ai ∈ A oder ai^-1 ∈ A für alle i= 1, ...,n }

i) erz (A) ⊂ G ist eine Untergruppe

Problem/Ansatz:

Beweis für Untergruppen:

Sei a1,a2 ∈ erz(A), dann gilt auch:

a1 o a2 ∈ erz (A)   => abgeschlossen bzgl. o

Sei a1,a2,a3 ∈ erz(A), dann gilt auch:

a1 o (a2 o a3) = (a1 o a2) o a3 => Assoziativgesetz ist gültig

Sei a1*...*an ∈ erz(A) und a1^-1 *...* an^-1 ∈ A, dann gilt auch:

(a1*...*an) * (a1*...*an)^-1  = e ∈ erz (A)

---> (a1*...*an) *(a1^-1 *...*an^-1 ) = a1 * ... * an * a1^-1 *...* an^-1

=> e ∈ erz(A) => Für jedes a ∈ erzA existiert auch genau ein a^-1 ∈ erzA mit a * a^-1 = e

Kann man das so machen oder fehlt da was? Vor allem unsicher bei Beweisen des Inversen ( rot markiert ).

LG

Comments

Hallo

Was ich nicht verstehe ist das oder in:  ai ∈ A oder ai-1 ∈ A das hieße ja das inverse zu ai muss nicht in Erz(A) liegen?

lul

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Ja. Stand so in der Aufgabe wortwörtlich. Soll anscheinend für die Vereinigung stehen.

Das erzA muss ja das Inverse beeinhalten, sonst ist es keine (Unter)gruppe. Und soll die Menge aller Produkte darstellen, womit die Abgeschlossenheit erreicht wird.

Answer 1

Sei a in A, dann ist a*a^(-1)=e in erz(A), da in der Angabe eben nur das "oder" gefordert ist, kann ich nämlich im Erzeugnis a1=a und a2=a^-1 wählen, ein Element, dass garnicht unbedingt in A ist.

Indem man a1 = a^(-1) wählt, erhält man a^(-1) in erz(A).

Weiter gilt aufgrund von (a*b)^(-1)=b^(-1)*a^(-1), dass auch jedes Produkt seine Inversen in erz(A) hat.

Und die Assoziativität erbt die Menge ja einfach von G.

Noch einige Sachen zum Verständnis, von denen ich aus deiner Lösung glaube, dass sie nicht ganz klar sind:

1) Das n in N bedeutet, dass eine beliebige Anzahl an Elementen im Produkt steht. Bei dir schaut es aber so aus als wäre das n fest.

2) Das Inverse von (a*b) ist im Allgemeinen nicht (a^-1*b^-1) (bei kommutativen Gruppen schon), sondern (b^-1*a^-1).

Ich hoffe, das ist verständlich, falls nicht, frag gern nocheinmal nach :)

LG

PS: Die Angabe ist trotzdem nicht ganz sauber, man muss eigentlich fordern, dass A nicht leer ist, das ist aber nur eine Detailsache.

Comments

Spielt die Reihenfolge der Faktoren bei erz A mit?

Da a^-1* b^-1 ≠ b^-1 * a^-1

Also ob b^-1 * a ^1 auch in erz (A) liegt obwohl hier das b^-1 vor dem a^-1 steht?

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Könnte man a1= a^-1 und a2= a wählen, rein theoretisch...?

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Zur ersten Frage, nein es gilt nicht immer a^-1*b^-1=b^-1*a^-1. Beispiele sind Matrixmultiplikation, Permutationen etc.

Zur zweiten Frage, ja könnte man.

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"Indem man a1 = a^(-1) wählt, erhält man a^(-1) in erz(A)."

In der Zeile davor wurde a1=a gewählt und hier ist jetzt a1=a^-1. Gibt es da einen Zusammenhang? (Kopfzerbrechen)

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Die beiden ersten Absätze sind unabhängig. Im ersten will ich nur zeigen, dass das neutrale Element in erz(A) liegt, im zweiten fange ich von vorne an und "baue" ein ganz neues Element, nämlich a^-1.

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Jawohl! Verstanden! Vielen Dank!