Bestimmen und erklären Sie, ob die folgende Menge in R^2 offen, geschlossen oder weder offen noch geschlossen ist.

Question

Bestimmen und erklären Sie, ob die folgende Menge in ℝ^2 offen, geschlossen oder weder offen noch geschlossen ist.

{(x,y) ∈ ℝ^2 | -2 < x ≤ 3 und 2 < y < 3}

Answer 1

Die Menge ist weder offen noch geschlossen, da:

1) Sich um den Punkt P(3|2,5) keine epsilon-Umgebung finden lässt, die vollständig in der Menge liegt. (denn wenn man auf das x ein positives Epsilon draufrechnet ist x>3 und damit nicht in der Menge). Somit ist die Menge nicht offen.

2) Die Folge an=(-2+1/n | 2+1/n) (die vollständig in der Menge liegt) konvergiert für n gegen unendlich gegen den Punkt (-2|2), der nicht in der Menge liegt. Somit ist die Menge auch nicht abgeschlossen.

Wenn was unklar ist, frag einfach nocheinmal nach! LG :)

Comments

Hallo,

wie kommst du bei P(3|2,5) auf y = 2,5, muss es einfach nur eine reelle Zahl zwischen 2 und 3 sein?

Anstatt mit einer Folge, kann man bei 2) auch ähnlich wie bei 1) vorgehen?

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Ich glaube, da ist ein Fehler:

Die Folge an liegt nicht vollständig in der Menge, denn für n=1 haben wir den Punkt (-1,3), aber der y-Kooradinate ist 2 < 3 < 3 , was nicht passen tut.

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Tut mir Leid für die späte Antwort. Ja, ich hab 2,5 gewählt weil es in der Mitte des Intervalls liegt, aber es geht mit jeder anderen aus dem Intervall auch. :) 

Und ja zum zweiten Kommentar, das hab ich tatsächlich nicht bedacht, danke fürs aufmerksam machen. Es macht aber auch keinen Unterschied, weil uns eigentlich eh nur große n interessieren, wir können also auch die ersten n'<unendlich Terme abschneiden und haben trotzdem noch eine valide Folge.