Wurzelgleichung lösen!

Question

Aufgabe:

Deine Aufgabe: $\sqrt{x-2}+\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}-\sqrt{x+14}=0$ Lösungsmenge: $\{10,999\}$

Problem/Ansatz:

Hallo Liebe Community, Ich besuche derzeit die 9te Klasse und wir haben das Thema "Wurzelgleichungen". Ich versuche dauernd diese Aufgabe zu lösen. Sämtliche Rechner gaben mir x=11 als Antwort aus, ich komme aber nicht hinter den Lösungsweg...

Answer 1

Hallo :-)

Ein möglicher Ansatz wäre dieser hier:

$$\begin{aligned} \sqrt{x-2}+\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}-\sqrt{x+14}&=0 &|+\sqrt{x-7}+\sqrt{x+14}\\[10pt]\sqrt{x-2}+\sqrt{x+5}&=\sqrt{x-7}+\sqrt{x+14} &|\uparrow ^2\\[10pt]x-2+x+5+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}&=x-7+x+14+2\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&| \text{Zusammenfassen}\\[10pt]2\cdot x+3+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}&=2\cdot x+7+2\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|-2\cdot x\\[10pt]3+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}&=7+2\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|-3\\[10pt]2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}&=4+2\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|-(2\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14})\\[10pt]2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}-2\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&=4&|\text{Ausklammern}\\[10pt]2\cdot (\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14})&=4&|:2\\[10pt]\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&=2&|\uparrow ^2\\[10pt](x-2)\cdot (x+5)+(x-7)\cdot (x+14)-2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&=4&|+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}\\[10pt](x-2)\cdot (x+5)+(x-7)\cdot (x+14)&=4+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|\text{Ausmultiplizieren}\\[10pt]x^2+3\cdot x-10+x^2+7\cdot x-98&=4+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|\text{Zusammenfassen}\\[10pt]2\cdot x^2+10\cdot x-108&=4+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|-4\\[10pt] 2\cdot x^2+10\cdot x-112&=2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|:2\\[10pt] x^2+5\cdot x-56&=\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-7}\cdot \sqrt{x+14}&|\uparrow ^2\\[10pt](x^2+5\cdot x-56)^2&=(x-2)\cdot (x+5)\cdot (x-7)\cdot (x+14)&|\text{Ausmultiplizieren}\\[10pt] x^4+10\cdot x^3-87\cdot x^2-560\cdot x+3136&=x^4+10\cdot x^3-87\cdot x^2-364\cdot x+980&|-(x^4+10\cdot x^3-87\cdot x^2)\\[10pt] -560\cdot x+3136&=-364\cdot x+980\end{aligned}$$

Und ich glaube, ab hier kommt man selber weiter. :-)

Aber Probe-Einsetzen nicht vergessen!

Answer 2

Ich hab das Gefühl es sollte auch eine kürzere Lösung geben aber naja, das ist meine:

$$\begin{aligned}\sqrt{x-2}+\sqrt{x+5}&=\sqrt{x-7}+\sqrt{x+14}\\x-2+2\sqrt{(x-2)(x+5)}+x+5&=x-7+2\sqrt{(x-7)(x+14)}+x+14\\2x+3+2\sqrt{(x-2)(x+5)}&=2x+7+2\sqrt{(x-7)(x+14)}\\2\sqrt{(x-2)(x+5)}&=4+2\sqrt{(x-7)(x+14)}\\4(x^2+3x-10)&=16+16\sqrt{(x-7)(x+14)}+4\cdot(x^2+7x-98)\\x^2+3x-10&=x^2+7x-94+4\sqrt{(x-7)(x+14)}\\-4x+84&=4\sqrt{(x-7)(x+14)}\\-x+21&=\sqrt{(x-7)(x+14)}\\x^2-42x+441&=x^2+7x-98\\539&=49x\\x&=11\end{aligned}$$

Erklärung zu den Umformungen Zeile für Zeile:

Vor der ersten Zeile bringen wir zwei der Wurzeln nach rechts.

Von 1 auf 2 quadrieren.

Von 2 auf 3 vereinfachen.

Von 3 auf 4 (-2x) und (-3).

Von 4 auf 5 quadrieren und ausmultiplizieren der Klammern, die nicht unter der Wurzel stehen.

Von 5 auf 6 (:4) und zusammenfassen auf der rechten Seite.

Von 6 auf 7 (-x²), (-7x) und (+94)

Von 7 auf 8 (:4)

Von 8 auf 9 quadrieren und klammern ausmultiplizieren

Von 9 auf 10 (-x²), (+42x), (+98)

Von 10 auf 11 (:49)

Ich hoffe, so ist es verständlich, falls nicht, frag einfach noch einmal nach. LG

Comments

Danke Danke,

soweit alles logisch, doch von Punkt 4 auf 5 wird quadriert und ausmultipliziert, das erscheint mir als Verfahren logisch, doch die Umsetzung leuchtet mir nicht ein, also wie kann dort z.b. trozdem noch die Wurzel sein?

Könnten sie mir den Schritt 4 auf 5 einmal genau eklären?

Ich danke in höflichster Form.

---

Ja, natürlich, also ich denke, die linke Seite sollte klar sein. Dort steht:

$$(2\sqrt{(x-2)(x-5)})^2=2^2\cdot \sqrt{(x-2)(x-5)}^2=4\cdot (x-2)(x+5)=4\cdot(x^2+3x-10)$$

Auf der rechten Seite wird die binomische Formel angewendet, erinner dich an (a+b)²=a²+2ab+b², dabei ist bei uns jetzt a=4 und b=2*Wurzel(x-7)(x+14):

$$(4+2\sqrt{(x-7)(x+14)})^2=\underbrace{4^2}_{=a^2}+\underbrace{2\cdot4\cdot2\sqrt{(x-7)(x+14)}}_{=2ab}+\underbrace{(2\sqrt{(x-7)(x+14)})^2}_{b^2}=$$

$$=16+16\sqrt{(x-7)(x+14)}+2^2\cdot\sqrt{(x-7)(x-14)}^2=$$

$$=16+16\sqrt{(x-7)(x+14)}+4((x-7)(x+14))=$$

$$=16+16\sqrt{(x-7)(x+14)}+4(x^2+7x-98)=$$

Die Wurzel bleibt also, weil bei 2ab nichts quadriert wird.

Answer 3

Hallo,

$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+5}=\sqrt{x-7}+\sqrt{x+14}\quad |\text{quadrieren}\\ x-2+2\sqrt{x-2}\sqrt{x-5}+x+5=x-7+2\sqrt{x-7}\sqrt{x+14}+x+14\quad |-2x;:2\\ \sqrt{x-2}\sqrt{x+5}=\sqrt{x-7}\sqrt{x+14}+2\\ \sqrt{(x-2)(x+5)}=\sqrt{(x-7)(x+14)}+2\quad|\text{wieder quadrieren und Klammern ausmultiplizieren}\\ x^2+3x-10=x^2+7x-98+4\sqrt{(x-7)(x+14)}+4\quad \text{zusammenfassen }\\ -4x+84=4\sqrt{(x-7)(x+14)}\quad |:4\\ -x+21=\sqrt{(x-7)(x+14)}\quad |\text{nochmal quadrieren}\\ x^2-42x+441=x^2+7x-98\\ -49x=-539\\$

Gruß, Silvia